Question

【题目】如图，已知正方形的边长为，点从点出发，以的速度沿着折线运动，到达点时停止运动；点从点出发，也以的速度沿着折线运动，到达点时停止运动.点、分别从点、同时出发，设运动时间为.

（1）当为何值时，、两点间的距离为.

（2）连接、交与点，

①在整个运动过程中，的最小值为______；

②当时，此时的值为______.

Answer 1

【答案】（1）为，，，时，、两点间的距离为；（2）①；②2或8.

【解析】

（1）分情况讨论确定E，F的位置，根据勾股定理列式求解即可；

（2）①根据题意分析出点M的运动轨迹是圆，然后即可确定答案；②求证△DAM≌△CDN，△DAE∽△DMA，分情况讨论即可.

（1）当时，由题可知，，

∴，

中，，

∴，

解得：，，

当时，由题可知，，

∴，

中，，

∴，

解得：，，

综上所述：为，，，时，、两点间的距离为.

（2）①

∵E，F两点速度相同，

∴AE=AF

又∵正方形ABCD中，AD=BA，∠DAB=∠B=90°，

∴△DAE≌△BAF（SAS）

∴∠ADE=∠BAF

∵∠BAF+∠DAF=90°

∴∠ADE+∠DAF=90°

∴∠DMA=90°

∴点M在以O为圆心，AD为直径的圆上，

连接OC交圆O于点，此时CM长度最短，

在Rt△DOC中，CO=

∴CM的最小值为.

②2或8

如下图，过点C作CN⊥DE

由①可知∠DMA=90°

∵∠ADM+∠CDN=90°，∠ADM+∠DAM=90°

∴∠CDN=∠DAM

在△ADM和△CDN中

∴△ADM≌△CDN（AAS）

∴DN=AM

又∵CM=CD=4且CN⊥DE

∴DM=2DN=2AM，即

∵∠DMA=90°

∴∠DAE=∠AMD，∠ADM=∠EDA

∴△DAE∽△DMA

∴

∴t=AE=2

当点E到达点C，点F到达点D，此时AM=4，此时t=8

综上所述，当CM=4cm时，此时t的值为2或8.