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【题目】如图,抛物线为常数,)经过点.

1)求抛物线的解析式;

2)如图,在直线下方的抛物线上是否存在点使四边形的面积最大?若存在,请求出点的坐标;若不存在,请说明理由;

3)若点为抛物线的对称轴上的一个动点,试指出为等腰三角形的点共有几个?并求以为底边时,点的坐标.

【答案】(1);(2)存在,;(3)点的坐标为:.

【解析】

1)抛物线经过点,可利用两点式法设抛物线的解析式为,代入即可求得函数的解析式;

2)作辅助线,将四边形分成三个图形,两个三角形和一个梯形,设,四边形的面积为,用字母表示出四边形的面积,发现是一个二次函数,利用顶点坐标求极值,从而求出点的坐标.

3)分三种情况画图:①以为圆心,为半径画弧,交对称轴于,有两个符合条件的;②以为圆心,以为半径画弧,也有两个符合条件的;③作的垂直平分线交对称轴于一点,有一个符合条件的;最后利用等腰三角形的腰相等,利用勾股定理列方程求出坐标.

解:(1)设

代入:

2)存在,

如图1,分别过轴作垂线,垂足分别为

,四边形的面积为

时,有最大值为48,这时

3)这样的点一共有5个,

①以为圆心,以为半径画弧,交抛物线的对称轴于,则

设对称轴交轴于

∴抛物线的对称轴是:

由勾股定理得:

②以为圆心,以为半径画弧,交抛物线的对称轴于

,则

由勾股定理得:

③连接

因为在对称轴上,所以设

是等腰三角形,且

由勾股定理得:

.

综上所述,点的坐标为:.

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1)求证:

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