【题目】如图,抛物线(、、为常数,)经过点,,.
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图,在直线下方的抛物线上是否存在点使四边形的面积最大?若存在,请求出点的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)若点为抛物线的对称轴上的一个动点,试指出为等腰三角形的点共有几个?并求以为底边时,点的坐标.
【答案】(1);(2)存在,;(3)点的坐标为:或或或或.
【解析】
(1)抛物线经过点,,,可利用两点式法设抛物线的解析式为,代入即可求得函数的解析式;
(2)作辅助线,将四边形分成三个图形,两个三角形和一个梯形,设,四边形的面积为,用字母表示出四边形的面积,发现是一个二次函数,利用顶点坐标求极值,从而求出点的坐标.
(3)分三种情况画图:①以为圆心,为半径画弧,交对称轴于和,有两个符合条件的和;②以为圆心,以为半径画弧,也有两个符合条件的和;③作的垂直平分线交对称轴于一点,有一个符合条件的;最后利用等腰三角形的腰相等,利用勾股定理列方程求出坐标.
解:(1)设,
把代入:,
,
∴;
(2)存在,
如图1,分别过、向轴作垂线和,垂足分别为、,
设,四边形的面积为,
则,,,,,
∴,
,
,
,
当时,有最大值为48,这时,
∴,
(3)这样的点一共有5个,
①以为圆心,以为半径画弧,交抛物线的对称轴于、,则,
设对称轴交轴于,
;
∴抛物线的对称轴是:,
∵,,
∴,
∴,
由勾股定理得:,
∴,
②以为圆心,以为半径画弧,交抛物线的对称轴于、,
∴,
过作于,则,
∵,
∴,
由勾股定理得:,
∴,
∴,
∵,
∴,
③连接、,
因为在对称轴上,所以设,
∵是等腰三角形,且,
由勾股定理得:,
,
∴.
综上所述,点的坐标为:或或或或.
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【题目】(感知)如图①,在四边形中,点在边上(点不与点、重合),.易证:(不要求证明).
(探究)如图②,在四边形中,点在边上(点不与点、重合),.
(1)求证:.
(2)若,,,求的长.
(应用)如图③,在中,,,点在边上(点不与点、重合),连结,作,与边交于点.当时,求的长.
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【题目】如图,P是正三角形ABC内一点,且PA=6,PB=8,PC=10,若将△PAC绕点A逆时针旋转后得到△P'AB.给出下列四个结论:①PP'=6,②AP2+BP2=CP2,③∠APB=150°;④S△ABC=36+25.正确结论个数为( )
A.1B.2C.3D.4
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【题目】小亮参加中华诗词大赛,还剩最后两题,如果都答对,就可顺利通关.其中第一道单选题有4个选项,第二道单选题有3个选项.小亮这两道题都不会,不过还有一个“求助”没有使用(使用求助可以让主持人去掉其中一题的一个错误选项).
(1)如果小亮第一题使用“求助”,那么他答对第一道题的概率是__;
(2)他的亲友团建议:最后一题使用“求助”,从提高通关的可能性的角度看,你同意亲友团的观点吗?试说明理由.
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【题目】如图,在一幅长为60 cm,宽为40 cm的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的纸边,制成一幅矩形挂图.若要使整个挂图的面积是3 500 cm2,设纸边的宽为x cm,则根据题意可列方程为( )
A. (60+x)(40+x)=3 500 B. (60+2x)(40+2x)=3 500
C. (60-x)(40-x)=3 500 D. (60-2x)(40-2x)=3 500
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【题目】某农场去年种植了10亩地的南瓜,亩产量为2000,根据市场需要,今年该农场扩大了种植面积,并且全部种植了高产的新品种南瓜,已知南瓜种植面积的增长率是亩产量的增长率的2倍,今年南瓜的总产量为60 000kg,求南瓜亩产量的增长率.
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【题目】如图,从A地到B地的公路需要经过C地,根据规划,将在A,B两地之间修建一条笔直的公路.已知AC=10千米,∠CAB=34°,∠CBA=45°,求改直后公路AB的长(结果精确到0.1千米)
(参考数据:sin34°≈0.559,cos34°≈0.829,tan34°≈0.675)
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【题目】为了让同学们了解自己的体育水平,八年级班的体育老师对全班名学生进行了一次体育模拟测试(得分均为整数),成绩满分为分,班的体育委员根据这次测试成绩,制作了统计图和分析表如下:
八年级班全体女生体育测试成绩分布扇形统计图
八年级全体男生体育测试成绩条形统计图
八年级班体育模拟测试成绩分析表
根据以上信息,解答下列问题:
(1)这个班共有男生 人,共有女生 人;
(2)补全八年级班体育模拟测试成绩分析表;
(3)你认为在这次体育测试中,班的男生队,女生队哪个表现更突出一些?并写出你的看法的理由.
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