定义:如果一个点能与另外两个点构成直角三角形.则称这个点为另外两个点的勾股点．例如:在矩形OBCD中.点C是O.B两点的一个勾股点．问题(1):如图1.在矩形OBCD中.OD=4.DC边上取一点E.DE=8．若点E是O.B两点的勾股点.求OB的长,问题(2):如图2.在矩形OBCD中.OD=4.OB=12.在OB边上取一点F.使OF=5.DC边上取一点E.使DE=8．� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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3．定义：如果一个点能与另外两个点构成直角三角形，则称这个点为另外两个点的勾股点．例如：在矩形OBCD中，点C是O、B两点的一个勾股点（如图1所示）．
问题（1）：如图1，在矩形OBCD中，OD=4，DC边上取一点E，DE=8．若点E是O、B两点的勾股点（点E不与点C重合），求OB的长；
问题（2）：如图2，在矩形OBCD中，OD=4，OB=12，在OB边上取一点F，使OF=5，DC边上取一点E，使DE=8．点P为DC边上一动点，过点P作直线PQ∥OD交OB边于点Q．设DP=t（t＞0）．
①当点P在线段DE之间时，以EF为直径的圆与直线PQ相切，求t的值；
②若直PQ上恰好存在两个点是E、F两点的勾股点时，请直接写出求t的取值范围．

分析（1）连接OE、BE．设OB=x，则EC=x-8．先依据勾股定理表示出OE²、BE²的值，再依据勾股定理的逆定理列方程求解即可；
（2）①过点F作FG⊥DC，垂足为G，过点O作ON∥DE．在△EFG中依据勾股定理求得EF的长，从而可求得OH的长，由梯形的中位线定理可求得ON的长，然后依据NH=NO-OH可求得NH的长，从而求得t的值；
②当直线PQ与圆O相离或直线PQ经过点E或直线PQ经过点F时，PQ上恰好存在两个点是E、F两点的勾股点．

解答（1）如图1所示，连接OE、BE．

设OB=x，则EC=x-8．
在△DOE中，OE²=DE²+OD²=4²+8²=80，BE²=CE²+CB²=4²+（x-8）²．
∵E为点O和点B的勾股定理点，
∴OB²=OE²+BE²，即4²+（x-8）²+80=x²．
解得：x=10．
∴OB=10．
（2）①过点F作FG⊥DC，垂足为G，过点O作ON∥DE．

∵DE=8，OF=5，DO=4，
∴GE=3，FG=4，ON=6.5．
∴EF=$\sqrt{G{E}^{2}+F{G}^{2}}$=5．
∴OH=2.5．
∴HN=NO-OH=6.5-2.5=4．
∴t=4．
②如图3所示：当直线PQ与圆O相离时．过点E作EG⊥EF交PQ于点G，过点F作HF⊥EF，垂足为H．

∵∠GEF=90°，
∴△GEF为直角三角形．
∴G是E、F的一个公共点．
同理点H也是E、F的一个公共点．
∴当直线PQ与圆O相离时，PQ上恰好存在两个点是E、F两点的勾股点．
∴当0＜t＜4时，PQ上恰好存在两个点是E、F两点的勾股点．
同理：当PQ在圆O的右侧，PQ上恰好存在两个点是E、F两点的勾股点．
∴9＜t≤12．
如图4所示：当PF经过点F时，PQ上恰好存在两个点是E、F两点的勾股点．

∵OF=5，
∴t=5．
如图5所示：当PF经过点E时，PQ上恰好存在两个点是E、F两点的勾股点．

∵DE=8，
∴t=8．
综上所述当0＜t＜4或t=5或t=8或9＜t≤12时，PQ上恰好存在两个点是E、F两点的勾股点．

点评本题主要考查的是圆的综合应用，解答本题主要应用了勾股定理、勾股定理的逆定理以及直线和圆的位置关系，找出PQ上恰好存在两个点是E、F两点的勾股点的条件是解题的关键．

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