Question

【题目】在矩形ABCD中，点P在AD上，AB=，AP=1．将直角尺的顶点放在P处，直角尺的两边分别交AB、BC于点E、F，连接EF（如图1）．当点E与点B重合时，点F恰好与点C重合（如图2）.将直角尺从图2中的位置开始，绕点P顺时针旋转，当点E和点A重合时停止．在这个过程中，从开始到停止，线段EF的中点所经过的路径长为．

Answer 1

【答案】

【解析】

根据题意先利用相似三角形的判定与性质求得图2中PC的长，再设线段EF的中点为O，连接OP，OB，如图1，证明得到O点在线段BP的垂直平分线上，然后如图2，当点E与点B重合时，点F与点C重合时，EF的中点为BC的中点O，当点E与点，A重合时，EF的中点为PB的中点O，得到OO′为△PBC的中位线，即OO′=PC.

解：如图2，
在矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，
∵AP=1，AB=，
∴PB==2,
∵∠ABP+∠APB=90°，∠BPC=90°，
∴∠APB+∠DPC=90°，
∴∠ABP=∠DPC，
∴△APB∽△DCP，
∴AP：CD=PB：CP，即1：=2：PC，
∴PC=2，
设线段EF的中点为O，连接OP，OB，如图1，
在Rt△EPF中，OP=EF，
在Rt△EBF中，OB=EF，
∴OP=OB，
∴O点在线段BP的垂直平分线上，
如图2，当点E与点B重合时，点F与点C重合时，EF的中点为BC的中点O，
当点E与点，A重合时，EF的中点为PB的中点O，
∴OO′为△PBC的中位线，
∴OO′=PC=，
∴线段EF的中点经过的路线长为.

故答案为：.