Question

【题目】我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n=p×q（p，q是正整数，且p≤q），在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解，并规定：F（n）=．例如：12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所以3×4是12的最佳分解，所以F（12）=．如果一个两位正整数t，t=10x+y（1≤x≤y≤9，x，y为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为36，那么我们称这个数t为“吉祥数”．根据以上新定义，下列说法正确的有：（1）F（48）=；（2）如果一个正整数m是另外一个正整数n的平方，我们称正整数m是完全平方数，则对任意一个完全平方数m，总有F（m）=1；（3）15和26是“吉祥数”；（4）“吉祥数”中，F（t）的最大值为． ( )

A.1个B.2个C.3个D.4个

Answer 1

【答案】D

【解析】

根据最佳分解的定义判断（1）和（2），根据吉祥数的定义判断（3）和（4），即可得出答案．

（1）48可以分解为1×48，2×24，3×16，4×12，6×8

∵48-1>24-2>16-3>12-4>8-6

∴6×8是48的最佳分解，∴F（48）=，故（1）正确；

（2）对任意一个完全平方数m设m=n2（n为正整数）

∵

∴n×n是m的最佳分解

∴对任意一个完全平方数m，总有，故（2）正确；

（3）51-15=36，故15为吉祥数；62-26=36，故36为吉祥数，故（3）正确；

（4）设交换t的个位上的数与十位上的数得到的新数为T=10y+x

∵t为吉祥数

∴T-t=10y+x-(10x+y)=9y-9x=36

∴y=x+4

∵1≤x≤y≤9，x，y为自然数

∴吉祥数有：15,26,37,48,59

∴，，，，

∴最大值为，故（4）正确；

故答案选择D．