Question

已知：关于x的方程x²+（2m+4）+m²+5m=0没有实数根．
（1）求m的取值范围．
（2）若关于x的一元二次方程mx²+ax+m-3=0有实数根．求证：该方程的两根符号相同．
（3）设（2）中方程的两根分别为α、β，若α：β=1：2，且a为整数，求m的最小整数值．

Answer 1

考点：根的判别式,根与系数的关系

专题：

分析：（1）根据判别式的意义可知△=（2m+4）²-4×1×（m²+5m）＜0，解不等式即可得出答案；
（2）根据由于关于x的一元二次方程mx²+ax+m-3=0有实数根可知m≠0，当m＞4时，得出两根的积

m-3

m

＞0，从而得出方程的两根符号相同．

解答：解：（1）∵关于x的方程x²+（2m+4）x+m²+5m=0没有实数根，
∴△=（2m+4）²-4×1×（m²+5m）＜0，
∴m＞4，
∴m的取值范围是m＞4；

（2）由于关于x的一元二次方程mx²+ax+m-3=0有实数根可知m≠0，
当m＞4时，

m-3

m

＞0，即方程的两根之积为正，
故方程的两根符号相同．

点评：此题考查了根的判别式以及根与系数的关系，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：△＞0?方程有两个不相等的实数根；△=0?方程有两个相等的实数根；△＜0?方程没有实数根．