Question

【题目】如图，平行四边形ABCD的两个顶点坐标分别为A（1，3），B（3，3），对角线的交点为M（1，2），AD与y轴的交点为N．

（1）求C、D点的坐标；

（2）求证：△BCN的面积是平行四边形ABCD面积的一半；

（3）除了点N，坐标轴上是否存在点P，使△BCP的面积是平行四边形ABCD面积的一半，若存在，直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】(1) C（1，1），D（-1，1）;(2)见解析.(3) P点的坐标为（-2，0），（2，0）或（0，-2）

【解析】

（1）根据平行四边形的性质求出C，D两点的坐标；

（2）分别表示出△BCN的面积，平行四边形ABCD的面积，然后探究他们之间的大小关系；

（3）分三种情况进行分类讨论，P在y负半轴，在x正半轴，x负半轴分别进行讨论.

解：(1)∵A（1，3），B（3，3）, M（1，2）,

∴AB=2,AM=1，ABx轴，AM⊥x轴,

∴A,C,M三点的横坐标相等为1，C,D两点的纵坐标相等．

∵四边形ABCD是平行四边形，M是平行四边形对角线的交点，

∴CD=AB=2，CDAB，AM=CM=1

∴C点的纵坐标为3-2=1，D点的横坐标为-1

∴C（1，1），D（-1，1）．

(2)设A点到BC的距离为h,则平行四边形ABCD的面积为ABh.

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴ADBC

∴点N到BC的距离为h

∴△BCN的面积为BCh

∴△BCN的面积是平行四边形ABCD面积的一半．

(3)根据平行线之间的距离相等，则延长AD交x轴与P1，有△BCP1的面积是平行四边形ABCD面积的一半．

设直线AD的解析式为y=kx+b,将A（1，3），D（-1，1）代入y=kx+b中，得

解得

∴直线AD的解析式为y=x+2

∴∠ADC=45°

当y=0时，x=-2

∴P1（-2，0）

当x=0时，y=2

∴N(0,2)

又∵C（1，1），D（-1，1），

∴NC=ND

∴∠NCD=∠ADC=45°

∴三角形NDC为等腰直角三角形，∠DNC=90°，∠ONC=45°

延长NC交x轴于点P2，则三角形NOP2是等腰直角三角形，所以OP2=ON=2

∴P2（2，0）

过P2作AD的平行线交y轴于P3，则P2 P3的解析式为y=x-2.

当x=0时，y=-2.

∴P3（0，-2）

则P点的坐标为（-2，0），（2，0）或（0，-2）时，△BCP的面积是平行四边形ABCD面积的一半．