Question

【题目】如图，∠ABC=∠ACB，AD、BD、CD分别平分△ABC的外角∠EAC、内角∠ABC、外角∠AFC，以下结论：①AD∥BC；②∠ACB=2∠ADB；③∠ADC=90°—∠ABD；④∠BDC=∠BAC，其中正确的结论有_____________。

Answer 1

【答案】①②③④

【解析】

根据角平分线定义得出∠ABC＝2∠ABD＝2∠DBC，∠EAC＝2∠EAD，∠ACF＝2∠DCF，根据三角形的内角和定理得出∠BAC＋∠ABC＋∠ACB＝180°，根据三角形外角性质得出∠ACF＝∠ABC＋∠BAC，∠EAC＝∠ABC＋∠ACB，根据已知结论逐步推理，即可判断各项．

解：∵AD平分∠EAC，

∴∠EAC＝2∠EAD，

∵∠EAC＝∠ABC＋∠ACB，∠ABC＝∠ACB，

∴∠EAD＝∠ABC，

∴AD∥BC，∴①正确；

∵AD∥BC，

∴∠ADB＝∠DBC，

∵BD平分∠ABC，∠ABC＝∠ACB，

∴∠ABC＝∠ACB＝2∠DBC，

∴∠ACB＝2∠ADB，∴②正确；

∵AD平分∠EAC，CD平分∠ACF，

∴∠DAC＝∠EAC，∠DCA＝∠ACF，

∵∠EAC＝∠ABC＋∠ACB，∠ACF＝∠ABC＋∠BAC，∠ABC＋∠ACB＋∠BAC＝180°，

∴∠ADC＝180°（∠DAC＋∠ACD）

＝180°（∠EAC＋∠ACF）

＝180°（∠ABC＋∠ACB＋∠ABC＋∠BAC）

＝180°（180°+∠ABC）

＝90°∠ABC

＝90°—∠ABD，∴③正确；

∵∠ACF＝2∠DCF，∠ACF＝∠BAC＋∠ABC，∠ABC＝2∠DBC，∠DCF＝∠DBC＋∠BDC，

∴∠BAC＝2∠BDC，∴④正确，

故答案为：①②③④.