Question

【题目】（重温旧知）圆内接四边形的内角具有特殊的性质.

如图①，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若AB＝BD，∠ABD＝50°，则∠BCD＝_______°.

（提出问题）圆内接四边形的边会有特殊性质吗？

如图②，某数学兴趣小组进行深入研究发现：ABCD+BCDA=ACBD，请按他们的思路继续完成证明.

证明：如图③，作∠BAE＝∠CAD，交BD于点E.

∵∠BAE＝∠CAD，∠ABD＝∠ACD，

∴△ABE∽△ACD，

∴ 即ABCD＝ACBE

（应用迁移）如图，已知等边△ABC外接圆⊙O，点P为上一点，且PB=，PC=1，求PA的长．

Answer 1

【答案】115

【解析】分析：(1)、根据圆内角四边形的对角互补以及等腰三角形的性质得出答案；(2)、根据题意得出△ABC和△AED相似，从而得出ADBC＝ACDE，从而根据ABCD+ADBC＝ACBE+ACDE得出答案；(3)、根据(2)得出PBAC+PCAB=PABC，根据等边三角形的性质得出（PB+PC）BC= PABC，从而得出答案．

详解：（1）115

（2）证明：如图3，

∵∠BAE＝∠CAD ∴∠BAE+∠CAE＝∠CAD+∠CAE，即∠BAC＝∠DAE，

又∵∠ACB＝∠ADB，∴△ABC∽△AED，∴，即ADBC＝ACDE ，

∴ABCD+ADBC＝ACBE+ACDE， ∴ABCD+BCDA=ACBD，

（3）由（2）可知PBAC+PCAB=PABC

∵△ABC是等边三角形， ∴AB=AC=BC，∴（PB+PC）BC= PABC，

∴PB+PC= PA即PA=+1.