Question

6．已知四边形ACBD的四个顶点都在同一条抛物线上，B（3，0），D（2，1），D点是抛物线的顶点，A点和C点是抛物线与坐标轴的交点．
（1）求抛物线的解析式及顶A、C点的坐标；
（2）如图①，点P是直线BC上方抛物线上一动点，过点P作y轴的垂线，交直线BC于点E．试用含x的代数式表示PE的长度，并求PE的最大值；
（3）如图②，过点A作y轴的平行线，交直线BC于点F，连接DA、DB．四边形OAFC以每秒1个单位的速度沿直线CB方向运动，运动时间为t秒，当点C与点B重合时立即停止运动．设运动过程中四边形OAFC与四边形ADBF重叠部分面积为S，是否存在t使S有最大值，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法即可求得抛物线的解析式，根据自变量与函数值得对应关系，可得答案；
（2）先求得直线BC的解析式，设P（x，-x²+4x-3），则F（x，x-3），根据PF等于P点的纵坐标减去F点的纵坐标即可求得PF关于x的函数关系式，从而求得P的坐标和PF的最大值；
（3）在运动过程中，分三种情形，需要分类讨论，避免漏解．

解答 解：（1）由顶点D的坐标（2，1），得
对称轴是x=2，由A、B关于对称轴对称，得
A点坐标是（1，0）
将A，B，D的坐标代入解得
抛物线的解析式：y=-x²+4x-3，
当x=0时y=-3，即C点坐标为（0，-3）；

（2）存在．
设直线BC的解析式为：y=kx+b，
则$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=-3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
∴直线BC的解析式为y=x-3，
设P（x，-x²+4x-3），则F（x，x-3），
∴PF=（-x²+4x-3）-（x-3）=-x²+3x=-（m-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{9}{4}$，
∴当x=$\frac{3}{2}$时，PE有最大值为$\frac{9}{4}$．
∴存在一点P，使线段PE的长最大，最大值为$\frac{9}{4}$．

（3）存在t使S有最大值，理由如下：
∵A（1，0）、B（3，0）、D（2，1）、C（0，-3），
∴可求得直线AD的解析式为：y=x-1；
直线BC的解析式为：y=x-3．
∴AD∥BC，且与x轴正半轴夹角均为45°．
∵AF∥y轴，
∴F（1，-2），
∴AF=2．
①当0≤t≤$\sqrt{2}$时，如答图1-1所示．

此时四边形AFF′A′为平行四边形．
设A′F′与x轴交于点K，则AK=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AA′=$\frac{\sqrt{2}}{2}$t．
∴S=S_?AFF′A′=AF•AK=2×$\frac{\sqrt{2}}{2}$t=$\sqrt{2}$t，
当t=$\sqrt{2}$时，S_最大=2；
②当$\sqrt{2}$＜t≤2$\sqrt{2}$时，如答图1-2所示．

设O′C′与AD交于点P，A′F′与BD交于点Q，
则四边形PC′F′A′为平行四边形，△A′DQ为等腰直角三角形．
∴S=S_{?PC′F′A′}-S_△A′DQ
=2×1-$\frac{1}{2}$（t-$\sqrt{2}$）²
=-$\frac{1}{2}$t²+$\sqrt{2}$t+1
=-$\frac{1}{2}$（t-$\sqrt{2}$）²+2，
当t=$\sqrt{2}$时，S_最大=2；
③当2$\sqrt{2}$＜t≤3$\sqrt{2}$时，如答图1-3所示．

设O′C′与BD交于点Q，则△BC′Q为等腰直角三角形．
∵BC=3$\sqrt{2}$，CC′=t，
∴BC′=3$\sqrt{2}$-t．
∴S=S_△BC′Q=$\frac{1}{2}$（3$\sqrt{2}$-t）²
=$\frac{1}{2}$t²-3$\sqrt{2}$t+9
=$\frac{1}{2}$（t-3$\sqrt{2}$）²
当t=2$\sqrt{2}$时S_最大=1，
由于2＞1，
S的最大值是2，此时t=$\sqrt{2}$．

点评 本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求解析式、最值、平行四边形、等腰直角三角形、图形面积计算等知识点．注意分类讨论的数学思想及图形面积的计算方法．