Question

如图，⊙I为△ABC的内切圆，点D，E分别为边AB，AC上的点，且DE为⊙I的切线，若△ABC的周长为20，BC边的长为6，则△ADE的周长为（　　）

• A、15
• B、9
• C、8
• D、7.5

Answer 1

考点：三角形的内切圆与内心

专题：计算题

分析：如图，⊙I与△ABC和DE相切的切点分别为G、K、H、F，根据切线长定理得到DG=DF，EF=EH，BG=BK，CK=CH，则△ADE的周长=AD+AE+DE=AD+AE+DG+EH=AG+AH，再利用△ABC的周长为20得到AG+AH+BG+BK+CK+CH=20，利用等线段代换可得AG+AH+BK+BK+CK+CK=20，则有AG+AH+2BC=20，所以AG+AH=8，即△ADE的周长为8．

解答：解：如图，⊙I与△ABC和DE相切的切点分别为G、K、H、F，
则DG=DF，EF=EH，BG=BK，CK=CH，
△ADE的周长=AD+AE+DE=AD+AE+DF+EF=AD+AE+DG+EH=AG+AH，
∵△ABC的周长为20，
∴AG+AH+BG+BK+CK+CH=20，
∴AG+AH+BK+BK+CK+CK=20，
即AG+AH+2（BK+CK）=20，
∴AG+AH+2BC=20，
而BC=6，
∴AG+AH=60-2×6=8，
∴△ADE的周长为8．
故选C．

点评：本题考查了三角形的内切圆与内心：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．也考查了切线长定理．