Question

如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，P为AB边上一点，Q为BC边上一点．PQ⊥AB，垂足为P，且△BPQ的面积等于四边形APQC面积的

1

4

，AB=5cm，PB=2cm，求QP的长．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,勾股定理

专题：

分析：由条件可证得△BPQ∽△BCA，又由面积关系可求得其相似比为

BQ

BA

=

1

5

，可求得BQ，在Rt△BPQ中利用勾股定理可求得PQ．

解答：解：∵△BPQ的面积等于四边形APQC面积的

1

4

，
∴

S△BPQ

S△BCA

=

1

5

，
∵PQ⊥AB，
∴∠BPQ=∠ACB，
∴△BPQ∽△BCA，
∴

BQ

BA

=

S△BPQ S△BCA

=

1

5

，
且BA=5cm，
∴

BQ

5

=

1

5

，
∴BQ=

5

cm，
在Rt△BPQ中，BP=2cm，
∴PQ=1cm．

点评：本题主要考查相似三角形的判定和性质，利用面积关系求得相似比是解题的关键，注意勾股定理的运用．