Question

如图，点P是边长为4的菱形ABCD对角线AC上的一个动点，∠BAD=60°，点M是AB边上的中点，求：
（1）MP+BP的最小值；
（2）把点M是AB的中点，改为M是AB上任意一点，其他条件不变，则：MP+BP的最小值又是什么呢？

Answer 1

考点：轴对称-最短路线问题,菱形的性质

专题：

分析：（1）找出B点关于AC的对称点D，连接DM，则DM就是PM+PB的最小值，求出即可．
（2）根据△ADB是等边三角形，只有M处于AB的中点时，MP+BP的值最小，即可判定；

解答：解：（1）连接DE交AC于P，连接BD，BP，
由菱形的对角线互相垂直平分，可得B、D关于AC对称，则PD=PB，
∴PE+PB=PE+PD=DE，
即DM就是PM+PB的最小值，
∵∠BAD=60°，AD=AB，
∴△ABD是等边三角形，
∵AE=BE，
∴DE⊥AB（等腰三角形三线合一的性质）
在Rt△ADE中，DM=

AD2-AM2

=

42-22

=2

3

．
故PM+PB的最小值为2

3

．
（2）把点M是AB的中点，改为M是AB上任意一点，其他条件不变，则：MP+BP的最小值仍为2

3

；
∵△ADB是等边三角形，
∴M处于AB的中点时，MP+BP的值最小．

点评：本题考查的是最短线路问题及菱形的性质，由菱形的性质得出点D是点B关于AC的对称点是解答此题的关键．