【题目】如图1,点P在正方形ABCD的对角线AC上,正方形的边长是a,Rt△PEF的两条直角边PE、PF分别交BC、DC于点M、N.
(1)操作发现:如图2,固定点P,使△PEF绕点P旋转,当PM⊥BC时,四边形PMCN是正方形.填空:①当AP=2PC时,四边形PMCN的边长是_________;②当AP=nPC时(n是正实数),四边形PMCN的面积是__________.
(2)猜想论证
如图3,改变四边形ABCD的形状为矩形,AB=a,BC=b,点P在矩形ABCD的对角线AC上,Rt△PEF的两条直角边PE、PF分别交BC、DC于点M、N,固定点P,使△PEF绕点P旋转,则=_______.
(3)拓展探究
如图4,当四边形ABCD满足条件:∠B+∠D=180°,∠EPF=∠BAD时,点P在AC上,PE、PF分别交BC,CD于M、N点,固定P点,使△PEF绕点P旋转,请探究的值,并说明理由.
【答案】(1)①a;②;(2);(3)见解析.
【解析】
试题分析:(1)①如图2,∵PM⊥BC,AB⊥B,∴△PMC∽△ABC,∴=,又∵AP=2PC,∴=,即=,∴PM=a,即正方形PMCN的边长是a;
②当AP=nPC时(n是正实数),=,∴PM=a,∴四边形PMCN的面积=(a)2=;
(2)如图3,过P作PG⊥BC于G,作PH⊥CD于H,则∠PGM=∠PHN=90°,∠GPH=90°,∵Rt△PEF中,∠FPE=90°,∴∠GPM=∠HPN,∴△PGM∽△PHN,∴=,由PG∥AB,PH∥AD可得,,
∵AB=a,BC=b,∴,即=,∴=;
(3)如图4,过P作PG∥AB,交BC于G,作PH∥AD,交CD于H,则∠HPG=∠DAB,∵∠EPF=∠BAD,∴∠EPF=∠GPH,即∠EPH+∠HPN=∠EPH+∠GPM,∴∠HPN=∠GPM,∵∠B+∠D=180°,∴∠PGC+∠PHC=180°,又∵∠PHN+∠PHC=180°,∴∠PGC=∠PHN,∴△PGM∽△PHN,∴=①,由PG∥AB,PH∥AD可得, ==,即=②,∴由①②可得, =.
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【题目】如图,矩形EFGH的顶点E,G分别在菱形ABCD的边AD,BC上,顶点F,H在菱形ABCD的对角线BD上.
(1)求证:BG=DE.
(2)若E为AD中点,FH=2,求菱形ABCD的周长.
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【题目】如图,AC是⊙O的直径,BC是⊙O的弦,点P是⊙O外一点,连接PA,PB,AB,已知∠PBA=∠C.
(1)求证:PB是⊙O的切线;
(2)连接OP,若OP∥BC,且OP=8,⊙O的半径为,求BC的长.
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【题目】甲、乙两人进行羽毛球比赛,羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分,如图,甲在点上正方的处发出一球,羽毛球飞行的高度与水平距离之间满足函数表达式.已知点与球网的水平距离为,球网的高度为.
(1)当时,①求的值.②通过计算判断此球能否过网.
(2)若甲发球过网后,羽毛球飞行到点的水平距离为,离地面的高度为的处时,乙扣球成功,求的值.
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【题目】如图,已知直线分别交轴、轴于点A、B,抛物线过A,B两点,点P是线段AB上一动点,过点P作PC 轴于点C,交抛物线于点D.
(1)若抛物线的解析式为,设其顶点为M,其对称轴交AB于点N.
①求点M、N的坐标;
②是否存在点P,使四边形MNPD为菱形?并说明理由;
(2)当点P的横坐标为1时,是否存在这样的抛物线,使得以B、P、D为顶点的三角形与AOB相似?若存在,求出满足条件的抛物线的解析式;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,直线y=﹣x+4与坐标轴分别交于点A、B,与直线y=x交于点C.在线段OA上,动点Q以每秒1个单位长度的速度从点O出发向点A做匀速运动,同时动点P从点A出发向点O做匀速运动,当点P、Q其中一点停止运动时,另一点也停止运动.分别过点P、Q作x轴的垂线,交直线AB、OC于点E、F,连接EF.若运动时间为t秒,在运动过程中四边形PEFQ总为矩形(点P、Q重合除外).
(1)求点P运动的速度是多少?
(2)当t为多少秒时,矩形PEFQ为正方形?
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【题目】如图,直线MN与x轴,y轴分别相交于A,C两点,分别过A,C两点作x轴,y轴的垂线相交于B点,且OA,OC(OA>OC)的长分别是一元二次方程x2﹣14x+48=0的两个实数根.
(1)求C点坐标;
(2)求直线MN的解析式;
(3)在直线MN上存在点P,使以点P,B,C三点为顶点的三角形是等腰三角形,请直接写出P点的坐标.
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【题目】如图,以△ABC的一边AB为直径作⊙O,交于BC的中点D,过点D作直线EF与⊙O相切,交AC于点E,交AB的延长线于点F.若△ABC的面积为△CDE的面积的8倍,则下列结论中,错误的是( )
A.AC=2AOB.EF=2AEC.AB=2BFD.DF=2DE
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【题目】已知抛物线 与x轴只有一个交点,且交点为A(-2,0).
(1)求b,c的值;
(2)若抛物线与y轴的交点为B,坐标原点为O,求△OAB的面积.
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