Question

我们规定：形如 的函数叫做“奇特函数”.当时，“奇特函数”就是反比例函数.

（1） 若矩形的两边长分别是2和3，当这两边长分别增加x和y后，得到的新矩形的面积为8 ，求y与x之间的函数关系式，并判断这个函数是否为“奇特函数”；

（2） 如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别为（9，0）、（0，3）．点D是OA的中点，连结OB，CD交于点E，“奇特函数”的图象经过B，E两点.

① 求这个“奇特函数”的解析式；

② 把反比例函数的图象向右平移6个单位，再向上平移 个单位就可得到①中所得“奇特函数”的图象.过线段BE中点M的一条直线l与这个“奇特函数”的图象交于P，Q两点，若以B、E、P、Q为顶点组成的四边形面积为，请直接写出点P的坐标．

 

 

Answer 1

（1），是 “奇特函数”；（2）①；②或或或.

【解析】

试题分析：（1）根据题意列式并化为，根据定义作出判断.

（2）①求出点B，D的坐标，应用待定系数法求出直线OB解析式和直线CD解析式，二者联立即可得点E 的坐标，将B（9，3），E（3，1）代入函数即可求得这个“奇特函数”的解析式.

②根据题意可知，以B、E、P、Q为顶点组成的四边形是平行四边形BPEQ或BQEP，据此求出点P的坐标.

试题解析：（1）根据题意，得，

∵，∴.∴.

根据定义，是 “奇特函数”.

（2）①由题意得，.

易得直线OB解析式为，直线CD解析式为，

由解得.∴点E（3，1）.

将B（9，3），E（3，1）代入函数，得，整理得，解得.

∴这个“奇特函数”的解析式为.

②∵可化为，

∴根据平移的性质，把反比例函数的图象向右平移6个单位，再向上平移2个单位就可得到.

∴关于点（6，2）对称.

∵B（9，3），E（3，1），∴BE中点M（6，2），即点M是的对称中心.

∴以B、E、P、Q为顶点组成的四边形是平行四边形BPEQ或BQEP.

由勾股定理得，.

设点P到EB的距离为m，

∵以B、E、P、Q为顶点组成的四边形面积为，

∴.

∴点P在平行于EB的直线上.

∵点P在上，

∴或.

解得.

∴点P的坐标为或或或.

考点：1.新定义和阅读理解型问题；2.平移问题；3.反比例函数的性质；4.曲线上点的坐标与方程的关系；5.勾股定理；6.中心对称的性质；7.平行四边形的判定和性质；8.分类思想的应用.