Question

13．阅读下列材料，并解决相关的问题．
按照一定顺序排列着的一列数称为数列，排在第一位的数称为第1项，记为a₁，依此类推，排在第n位的数称为第n项，记为a_n．
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0）．如：数列1，2，4，8，…为等比数列，其中a₁=1，公比为q=2．
则：（1）等比数列3，6，12，…的公比q为2，第6项是96．
（2）如果一个数列a₁，a₂，a₃，a₄，…是等比数列，且公比为q，那么根据定义可得到：$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=q，$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$=q，$\frac{{a}_{4}}{{a}_{3}}$=q，…$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=q．
所以：a₂=a₁•q，a₃=a₂•q=（a₁•q）•q=a₁•q²，a₄=a₃•q=（a₁•q²）•q=a₁•q³，…
由此可得：a_n=a₁•q^n-1（用a₁和q的代数式表示）．
（3）对等比数列1，2，4，…，2^n-1求和，可采用如下方法进行：
设S=1+2+4+…+2^n-1     ①，
则2S=2+4+…+2ⁿ        ②，
②-①得：S=2ⁿ-1
利用上述方法计算：1+3+9+…+3ⁿ．

Answer 1

分析 （1）由第二项除以第一项求出公比q的值，确定出第6项即可；
（2）根据题中的定义归纳总结得到通项公式即可；
（3）类比给出的方法求得答案即可．

解答 解：（1）q=$\frac{6}{3}$=2，第6项是3×2⁵=96；
（2）归纳总结得：a_n=a₁•q^n-1；
（3）设S=1+3+9+…+3ⁿ①，
则3S=3+9+…+3ⁿ⁺¹②，
②-①得：2S=3ⁿ⁺¹-1
S=$\frac{{3}^{n+1}-1}{2}$．

点评 此题考查数字的变化规律，理解题意，理清数字之间的运算规律，利用运算规律解决问题．