Question

15．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，BD是AC边上的高，点P是边BC上的任意一点，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为E、F．
（1）求证：PE+PF=BD．
（2）当点P在直线BC上，上述结论还成立吗？如果成立，直接写出结论；如果不成立，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据已知，过P作PG⊥BD于G，可得矩形PGDF，所以PF=GD①，再由矩形PGDF得PG∥AC，又由AB=AC得∠ABC=∠C，所以∠BPG=∠ABC，再由∠PEB=∠BGP=90°，BP=PB，则△BPE≌△PBG，所以得PE=BG②，①+②得出PE+PF=BD；
（2）当点P在BC延长线上时，（1）中的结论不成立，但有PE-PF=BD，连接AP，则S_△ABP=S_△ABC+S_△ACP，根据三角形的面积公式得到$\frac{1}{2}$AB•PE=$\frac{1}{2}$AC•BD+$\frac{1}{2}$AC•PF即可得到PE-PF=BD．同理当D点在CB的延长线上时，则有DF-DE=BD，连接AP，则S_△ABP=S_△ABC+S_△ABP，根据三角形的面积公式得到$\frac{1}{2}$AC•PF=$\frac{1}{2}$AC•BD+$\frac{1}{2}$AB•PE，即可得到PF-PE=BD．

解答 （1）证明：如图1，过P作PG⊥BD于G，
∵BD⊥AC，PF⊥AC，
∴PG∥DF，GD∥PF，
∴四边形PGDF是平行四边形，
又∵∠GDF=90°，
∴四边形PGDF是矩形，
∴PF=GD，
∵四边形PGDF是矩形，
∴PG∥DF，即PG∥AC，
∴∠BPG=∠C，
又∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∴∠BPG=∠ABC，
在△BPE与△PBG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PEB=∠BGP}\\{∠BPG=∠ABC}\\{BP=PB}\\{\;}\end{array}\right.$，
∴△BPE≌△PBG（AAS）
∴PE=BG，
∴PE+PF=BG+GD
即PE+PF=BD；

（2）如图2，当点P在BC延长线上时，（1）中的结论不成立，但有PE-PF=BD，
理由：连接AP，则S_△ABP=S_△ABC+S_△ACP，
即$\frac{1}{2}$AB•PE=$\frac{1}{2}$AC•BD+$\frac{1}{2}$AC•PF
∵AB=AC，
∴PE=BD+PF，
即PE-PF=BD．
同理如图3，当D点在CB的延长线上时，则有DF-DE=BD，
理由：连接AP，则S_△ACP=S_△ABC+S_△ABP，
即$\frac{1}{2}$AC•PF=$\frac{1}{2}$AC•BD+$\frac{1}{2}$AB•PE，
∵AB=AC，
∴PF=BD+PE，
即PF-PE=BD．

点评 考查了等腰三角形的性质；在解决一题多变的时候，基本思路是相同的；注意通过不同的方法计算同一个图形的面积，来进行证明结论的方法，是非常独特的，也是一种很好的方法，注意掌握应用．