Question

5．如图，AC是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，E是$\widehat{CD}$的中点，连接AE交BC于点F，∠ABC=2∠EAC．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若tanB=$\frac{4}{3}$，BD=6，求CF的长．

Answer 1

分析 （1）连结AD，如图，根据圆周角定理，由E是$\widehat{CD}$的中点，得到∠EAC=∠EAD，由于∠ABC=2∠EAC，则∠ABC=∠DAC，再利用圆周角定理得到∠ADB=90°，则∠DAC+∠ACB=90°，所以∠ABC+∠ACB=90°，于是根据切线的判定定理得到AB是⊙O的切线；
（2）作FH⊥AC于H，如图，利用余弦定义，在Rt△ABD中可计算出AD=8，利用勾股定理求得AB=10，在Rt△ACB中可计算出AC=$\frac{40}{3}$，根据勾股定理求得BC=$\frac{50}{3}$，则，CD=BC-BD=$\frac{32}{3}$，接着根据角平分线性质得FD=FH，于是设CF=x，则DF=FH=$\frac{32}{3}$-x，然后利用平行线得性质由FH∥AC得到∠HFB=∠C，所以cos∠BFH=cosB=$\frac{3}{5}$=$\frac{FH}{CF}$，再利用比例性质可求出CF．

解答 （1）证明：连接AD，∵AC是⊙O的直径，
∴AD⊥BC，
∴∠DAC+∠C=90°，
∵E是$\widehat{CD}$的中点，
∴∠EAC=∠EAD，
∴∠DAC=2∠EAC，
∵∠ABC=2∠EAC，
∴∠ABC=∠DAC，
∴∠ABC+∠C=90°，
∴∠BAC=90°，
∴CA⊥AB，
∴AB是⊙O的切线；
（2）解：作FH⊥AC于H，如图，
在Rt△ABD中，∵tanB=$\frac{AD}{BD}$=$\frac{4}{3}$，BD=6，
∴AD=8，
∴AB=$\sqrt{A{D}^{2}+B{D}^{2}}$=10，
在Rt△ACB中，∵tanB=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{4}{3}$，
∴AC=$\frac{4}{3}$×10=$\frac{40}{3}$，
∴BC=$\sqrt{A{C}^{2}+A{B}^{2}}$=$\frac{50}{3}$，
∴CD=BC-BD=$\frac{50}{3}$-6=$\frac{32}{3}$，
∵∠EAC=∠EAD，即AF平分∠CAD，
而FD⊥AD，FH⊥AB，
∴FD=FH，
设CF=x，则DF=FH=$\frac{32}{3}$-x，
∵FH∥AC，
∴∠HFC=∠B，
在Rt△CFH中，∵tan∠CFH=tanB=$\frac{4}{3}$=$\frac{CH}{FH}$，
∴$\frac{FH}{CF}$=$\frac{3}{5}$=$\frac{\frac{32}{3}-x}{x}$，解得x=$\frac{20}{3}$，
即CF的长为$\frac{20}{3}$．

点评 本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了解直角三角形．