Question

10．如图，在边长为4的正方形ABCD中，P是CD的中点，连接AP并延长，交BC的延长线于点F，作△CPF的外接圆⊙O，连接BP并延长交⊙O于点E，连接EF，则EF的长为$\frac{{8\sqrt{5}}}{5}$．

Answer 1

分析 先求出CP、BF长，根据勾股定理求出BP，根据相似得出比例式，即可求出答案．

解答 解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=∠PCF=90°，CD∥AB，
∵P为CD的中点，CD=AB=BC=4，
∴CP=2，
∵PC∥AB，
∴△FCP∽△FBA，
∵CP=2，AB=BC=4，
∴$\frac{CF}{BF}$=$\frac{CP}{AB}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{BF-4}{BF}$=$\frac{1}{2}$，
∴BF=8，
∴CF=8-4=4，
由勾股定理得：BP=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCP=∠PCF=90°，
∴PF是直径，
∴∠E=90°=∠BCP，
∵∠PBC=∠EBF，
∴△BCP∽△BEF，
∴$\frac{PC}{EF}$=$\frac{BP}{BF}$，
∴$\frac{2}{EF}$=$\frac{2\sqrt{5}}{8}$，
∴EF=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$．
故答案为：$\frac{8\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查了正方形的性质，圆周角定理，相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力和计算能力，题目比较好，难度适中．