Question

18．十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题：

（1）根据上面多面体的模型，完成表格中的空格：

多面体	顶点数（V）	面数（F）	棱数（E）
四面体	4	4	6
长方体	8	6	12
正八面体	6	8	12

你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是V+F-E=2；
（2）一个多面体的棱数比顶点数大10，且有12个面，则这个多面体的棱数是30；
（3）某个玻璃饰品的外形是简单的多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，每个顶点处都有3条棱，共有棱36条．若该多面体外表面三角形的个数比八边形的个数的2倍多2，求该多面体外表面三角形的个数．

Answer 1

分析 （1）观察表格可以看出：顶点数+面数-棱数=2，关系式为：V+F-E=2；
（2）根据题意得出是十二面体，得出顶点数，即可得到面数；
（3）设八边形的个数个，则三角形的个数为2y+2个，由题意可得y+2y+2=14，解方程求出y的值即可．

解答 解：（1）根据题意得：四面体的棱数为6，正八面体顶点数为6，
∵4+4-6=2，8+6-12=2，6+8-12=2，
∴顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是V+F-E=2；
故答案为：6，6，V+F-E=2；
（2）∵一个多面体的棱数比顶点数大10，且有12个面，
∴这个多面体是十二面体，
∴顶点数为20，
∵V+F-E=2，
∴棱数E=20+10=30；
故答案为：30；
（3）∵$\frac{3V}{2}$=36=E，V=24，V+F-E=2，
∴F=14，
设八边形的个数为y个，
则三角形的个数为2y+2个，
由题意得y+2y+2=14，
解得：y=4，
∴2y+2=10，
答：该多面体外表面三角形的个数为10个．

点评 本题考查了多面体的顶点数，面数，棱数之间的关系及灵活运用，得出欧拉公式是解题关键．