Question

7．如图，在矩形ABCD中，BC=$\sqrt{2}$AB，∠ADC的平分线交边BC于点E，AH⊥DE于点H，连接CH并延长交AB边于点F，连接AE交CF于点O，给出下列命题：
①AD=DE ②DH=2$\sqrt{2}$EH ③△AEH∽△CFB ④HO=$\frac{1}{2}$AE
其中正确命题的序号是①③④（填上所有正确命题的序号）

Answer 1

分析 根据矩形的性质得到AD=BC=$\sqrt{2}$AB=$\sqrt{2}$CD，由DE平分∠ADC，得到△ADH是等腰直角三角形，△DEC是等腰直角三角形，得到DE=$\sqrt{2}$CD，得到等腰三角形求出∠AED=67.5°，∠AEB=180°-45°-67.5°=67.5°，得到①正确；设DH=1，则AH=DH=1，AD=DE=$\sqrt{2}$，求出HE=$\sqrt{2}$，得到2$\sqrt{2}$HE=$\sqrt{2}$≠1，故②错误；通过角的度数求出△AOH和△OEH是等腰三角形，从而得到④正确；由△AFH≌△CHE，根据全等三角形的性质得到∠AHF=∠HCE，根据等腰三角形的性质得到∠HAO=∠AHO，求得∠HAO=∠BCF即可证得△AEH∽△CFB，故③正确．

解答 解：在矩形ABCD中，AD=BC=$\sqrt{2}$AB=$\sqrt{2}$CD，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠CDE=45°，
∵AD⊥DE，
∴△ADH是等腰直角三角形，
∴AD=$\sqrt{2}$AB，
∴AH=AB=CD，
∵△DEC是等腰直角三角形，
∴DE=$\sqrt{2}$CD，
∴AD=DE，
∴∠AED=67.5°，
∴∠AEB=180°-45°-67.5°=67.5°，
∴∠AED=∠AEB，
∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB，
∴∠DAE=∠AED，
∴AD=DE，
故①正确；
设DH=1，
则AH=DH=1，AD=DE=$\sqrt{2}$，
∴HE=$\sqrt{2}$，
∴2$\sqrt{2}$HE=2$\sqrt{2}$≠1，
故②错误；
∵∠AEH=67.5°，
∴∠EAH=22.5°，
∵DH=CD，∠EDC=45°，
∴∠DHC=67.5°，
∴∠OHA=22.5°，
∴∠OAH=∠OHA，
∴OA=OH，
∴∠AEH=∠OHE=67.5°，
∴OH=OE，
∴OH=$\frac{1}{2}$AE，
故④正确；
∵AH=DH，CD=CE，
在△AFH与△CHE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AHF=∠HCE=22.5°}\\{∠FAH=∠HEC=45°}\\{AH=CE}\end{array}\right.$，
∴△AFH≌△CHE，
∴∠AHF=∠HCE，
∵AO=OH，
∴∠HAO=∠AHO，
∴∠HAO=∠BCF，∵∠B=∠AHE=90°，
∴△AEH∽△CFB，故③正确．
故答案为：①③④．

点评 本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，熟记各性质并仔细分析题目条件，根据相等的度数求出相等的角，从而得到三角形全等的条件或判断出等腰三角形是解题的关键，也是本题的难点．