Question

12．已知直线l与⊙O，AB是⊙O的直径，AD⊥l于点D．
（1）如图（1），当直线l与⊙O相切于点C时，若∠DAC=35°，求∠DAB的度数；
（2）如图（2），当直线l与⊙O相交于点E、F时，求证：∠DAE=∠BAF．

Answer 1

分析 （1）连接OC，如图1，根据切线的性质得OC⊥l，加上AD⊥l，则AD∥OC，所以∠OCA=∠DAC=35°，由于∠OAC=∠OCA=35°，易得∠DAB=70°；
（2）连结BF，如图2，先根据圆周角定理得到∠AFB=90°，再根据圆内接四边形的性质得∠AED=∠ABF，然后利用等角的余角相等即可得到结论．

解答 （1）解：连接OC，如图1，
∵直线l与⊙O相切于点C，
∴OC⊥l，
∵AD⊥l，
∴AD∥OC，
∴∠OCA=∠DAC=35°，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA=35°，
∴∠DAB=∠DAC+∠OAC=35°+35°=70°；
（2）证明：连结BF，如图2，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AFB=90°，
∵AD⊥EF，
∴∠ADE=90°，
∵∠AED=∠ABF，
∴∠DAE=∠BAF．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．