精英家教网 > 初中数学 > 题目详情

【题目】如图,已知抛物线经过坐标原点O和x轴上另一点E,顶点M的坐标为(2,4);矩形ABCD的顶点A与点O重合,AD、AB分别在x轴、y轴上,且AD=2,AB=3.

(1)求该抛物线所对应的函数关系式;

(2)将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从如图所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动,同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动,设它们运动的时间为t秒(0≤t≤3),直线AB与该抛物线的交点为N(如图2所示).

①当t=时,判断点P是否在直线ME上,并说明理由;

②设以P、N、C、D为顶点的多边形面积为S,试问S是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由.

【答案】(1);(2)不在;最大值为

【解析】

试题分析:(1)已知顶点坐标,又抛物线经过原点,用待定系数可求出抛物线解析式;

(2)①根据抛物线的对称性求出E点坐标,再求出直线ME的解析式,把t知代入验证点P是否在直线ME上;

②最后一问设出P,N坐标,根据几何关系求出PN,然后分两种情况讨论:(1)PN=0;(2)PN≠0;把求多边形面积S转化为求函数最值问题.

试题解析:(1)因所求抛物线的顶点M的坐标为(2,4),故可设其关系式为又∵抛物线经过O(0,0),∴得,解得a=﹣1∴所求函数关系式为,即

(2)①点P不在直线ME上.根据抛物线的对称性可知E点的坐标为(4,0),又M的坐标为(2,4),设直线ME的关系式为y=kx+b.于是得,解得所以直线ME的关系式为y=﹣2x+8.

由已知条件易得,当t=时,OA=AP=,∴P(

∵P点的坐标不满足直线ME的关系式y=﹣2x+8,当t=时,点P不在直线ME上.

②S存在最大值.理由如下:

∵点A在x轴的非负半轴上,且N在抛物线上,∴OA=AP=t,点P,N的坐标分别为(t,t)、(t,∴AN=(0≤t≤3),∴AN﹣AP=()﹣t==t(3﹣t)≥0,∴PN=(ⅰ)当PN=0,即t=0或t=3时,以点P,N,C,D为顶点的多边形是三角形,此三角形的高为AD,∴S=DCAD=×3×2=3.

(ⅱ)当PN≠0时,以点P,N,C,D为顶点的多边形是四边形

∵PN∥CD,AD⊥CD,∴S=(CD+PN)AD= ==其中(0<t<3),由a=﹣1,0<<3,此时S最大=

综上所述,当t=时,以点P,N,C,D为顶点的多边形面积有最大值,这个最大值为

说明:(ⅱ)中的关系式,当t=0和t=3时也适合.

练习册系列答案
相关习题

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】如图,在四边形ABCD中,ABCD,B=90°,AB=AD=5,BC=4,M、N、E分别是AB、AD、CB上的点,AM=CE=1,AN=3,点P从点M出发,以每秒1个单位长度的速度沿折线MB﹣BE向点E运动,同时点Q从点N出发,以相同的速度沿折线ND﹣DC﹣CE向点E运动,当其中一个点到达后,另一个点也停止运动.设APQ的面积为S,运动时间为t秒,则S与t函数关系的大致图象为(

A. B. C. D.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】如图,在ABC中,AB=BC=4AO=BOP是射线CO上的一个动点,AOC=60°,则当PAB为直角三角形时,AP的长为

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】如图,点E是∠AOB的平分线上一点,EC⊥OA,ED⊥OB,垂足分别为C、D.

求证:
(1)∠ECD=∠EDC;
(2)OC=OD
(3)OE是线段CD的垂直平分线.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】下列不是具有相反意义的量是(
A.前进5米和后退5米
B.节约3吨和消费10吨
C.身高增加2厘米和体重减少2千克
D.超过5克和不足2克

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】若一次函数y=kx+1(k为常数,k≠0)的图象经过第一、二、三象限,则k的取值范围是_________

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】相反数等于它本身的数是

A. -1 B. 0 C. 1 D. 01

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】某市2009年元旦的最高气温为2℃,最低气温为-8℃,那么这天的最高气温比最低气温高(
A.-10℃
B.-6℃
C.6℃
D.10℃

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】将正比例函数y=2x的图象向上平移3个单位,所得的直线不经过第象限.

查看答案和解析>>

同步练习册答案