Question

【题目】已知：如图，菱形ABCD中，点E，F，G，H分别在边AB，BC，CD，DA上，且BE=BF=DH=DG．

(1)求证：四边形EFGH是矩形；

(2)已知∠B=60°，AB=6．

请从A，B两题中任选一题作答，我选择　 　题．

A题：当点E是AB的中点时，矩形EFGH的面积是　 　．

B题：当BE=　 　时，矩形EFGH的面积是8．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）A或B；A题：9；B题：2或4．

【解析】

（1）根据题意与菱形的性质证得∠AEH+∠BEF=（180°﹣∠A）+（180°﹣∠B）=90°，同法可证：∠EFG=∠EHG=90°，根据矩形的判定即可得证；

（2）A题：连接AC，BD交于点O．根据题意与菱形的性质可得△ABC是等边三角形，根据等边三角形的性质可得个边长的长度，然后根据矩形的面积公式求解即可；

B题：设BE=x，则AE=6﹣x，EF=x，EH=（6﹣x），根据题意可列出关于x的方程，然后解方程即可.

（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，

∴AD∥BC，AB=BC=CD=AD，

∴∠A+∠B=180°，

∵BE=BF=DH=DG，

∴AE=AH=CF=CG，

∴∠AEH=∠AHE=（180°﹣∠A），∠BEF=∠BFE=（180°﹣∠B），

∴∠AEH+∠BEF=（180°﹣∠A）+（180°﹣∠B）=90°，

同法可证：∠EFG=∠EHG=90°，

∴四边形EFGH是矩形；

（2）解：A题：连接AC，BD交于点O．

∵AE=BE，

∴AH=DH，BF=CF，CG=GD，

∴EF=AC，EH=BD，

∵AB=BC=6，∠ABC=60°，

∴△ABC是等边三角形，

∴AC=AB=6，

∵OB⊥AC，

∴OB=3，BD=2OB=6，

∴EF=3，EH=3，

∴S矩形EFGH=EFEH=9．

故答案为9；

B题：设BE=x，则AE=6﹣x，EF=x，EH=（6﹣x），

由题意：x（6﹣x）=8，

解得x=4或2，

∴BE=2或4．