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【题目】已知:如图,正方形ABCD,点EDC边上的一动点,过点CAE的垂线交AE延长线于点F,过DDHCF,垂足为H,点OAC中点,连HO

1)如图1,当∠CAE=∠DAE时,证明:AE2CF

2)如图2,当点EDC上运动时,线段AF与线段HO之间是否存在确定的数量关系?若存在,证明你发现的结论:若不存在,请说明理由;

3)当EDC中点时,AC2,直接写出AF的长 

【答案】1)证明见解析;(2AFOH,理由见解析;(3

【解析】

1)如图1,延长ADCH交于M,证明△ACF≌△AMFASA),得CM=2CF,再证明△ADE≌△CDMASA),可得结论;

2)如图2,作辅助线,构建全等三角形,证明△OMC≌△ONDAAS),并证明四边形MONH是正方形,得OH=OM,根据三角形中位线定理可得是结论;

3)如图1,证明△ADE∽△CFE,得CF=2EF,利用正方形的性质和勾股定理计算AD=CD=2,分别计算AEEF的长可得结论.

1)证明:如图1,延长ADCH交于M

AFCF

∴∠AFC=∠AFM90°,

∵∠DAE=∠CAEAFAF

∴△ACF≌△AMFASA),

CFFM

CM2CF

∵四边形ABCD是正方形,

ADCD,∠ADC90°,

∴∠ADC=∠CDM90°,

∵∠ADE=∠EFC90°,∠AED=∠CEF

∴∠ECF=∠EAD

∴△ADE≌△CDMASA),

AECM2CF

2)解:AFOH,理由是:

如图2,过OONDHNOMCHM,连接OD

∴∠OMH=∠ONH=∠MHN90°,

∴四边形MONH为矩形,

∴∠MON90°,

∵四边形ABCD是正方形,

ODOC,∠DOC90°,

∴∠MOC=∠DON

∵∠OMC=∠OND90°,

∴△OMC≌△ONDAAS),

OMON

∴矩形MONH是正方形,

OHOM

ACF中,∵OAOCOMAF

CMFM

AF2OM

,即AFOH

3)∵∠ADE=∠EFC90°,∠AED=∠CEF

∴△ADE∽△CFE

2

∵四边形ABCD是正方形,且AC2

ADCD2

ECD的中点,

DECE1

由勾股定理得:AE

EFx,则CF2x

CEx1

x

EF

AF+

故答案为:

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