Question

如图，平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+2与x轴分别交于点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，连结BC．点P是BC上方抛物线上一点，过点P作y轴的平行线，交BC于点N，分别过P、N两点作x轴的平行线，交抛物线的对称轴于点Q、M，设P点的横坐标为m．

（1）求抛物线所对应的函数关系式．

（2）当点P在抛物线对称轴左侧时，求四边形PQMN周长的最大值．

（3）当四边形PQMN为正方形时，求m的值．

Answer 1

【考点】二次函数综合题．

【分析】（1）设交点式y=a（x+1）（x﹣3），然后把C点坐标代入求出a即可得到抛物线的解析式；

（2）先利用对称轴确定抛物线的对称轴方程，再利用待定系数法求出直线BC的解析式，接着利用m表示出PN和PQ，从而得到四边形PQMN周长与m的二次函数关系，然后利用二次函数的性质求四边形PQMN周长的最大值；

（3）分类讨论：当0＜m＜1时，利用PQ=PN得到﹣m²+2m=1﹣m；当1＜m＜3时，利用PQ=PN得到﹣m²+2m=m﹣1，然后分别解一元二次方程得到满足条件的m的值．

【解答】解：（1）当x=0时，y=ax²+bx+2=2，则C（0，2），

设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），

把C（0，2）代入得a•1•（﹣3）=2，解得a=﹣，

所以抛物线的解析式为y=﹣（x+1）（x﹣3），即y=﹣x²+x+2；

（2）∵抛物线与x轴分别交于点A（﹣1，0）、B（3，0），

∴抛物线的对称轴为直线x=1，

设直线BC的解析式为y=px+q，

把C（0，2），B（3，0）代入得，解得，

所以直线BC的解析式为y=﹣x²+2，

设P（m，﹣ m²+m+2），则N（m，﹣ m+2），

∴PN=﹣m²+m+2﹣（﹣m+2）=﹣m²+2m，

而PQ=1﹣m，

∴四边形PQMN周长=2（﹣m²+2m+1﹣m）=﹣m²+2m+2=﹣（m﹣）²+（0＜m＜1），

∴当m=时，四边形PQMN周长有最大值，最大值为；

（3）当0＜m＜1时，PQ=1﹣m，

若PQ=PN时，四边形PQMN为正方形，即﹣m²+2m=1﹣m，

整理得2m²﹣9m+3=0，解得m₁=（舍去），m₂=，

当1＜m＜3时，PQ=m﹣1，

若PQ=PN时，四边形PQMN为正方形，即﹣m²+2m=m﹣1，

整理得2m²﹣3m﹣3=0，解得m₁=（舍去），m₂=，

综上所述，当m=或m=时，四边形PQMN为正方形．

【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和正方形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会解一元二次方程．