Question

【题目】综合与探究

阅读材料：

数轴是学习有理数的一种重要工具，任何有理数都可以用数轴上的点表示，这样能够运用数形结合的方法解决一些问题．例如，两个有理数在数轴上对应的点之间的距离可以用这两个数的差的绝对值表示；

在数轴上，有理数3与1对应的两点之间的距离为|3﹣1|=2；

在数轴上，有理数5与﹣2对应的两点之间的距离为|5﹣（﹣2）|=7；

在数轴上，有理数﹣2与3对应的两点之间的距离为|﹣2﹣3|=5；

在数轴上，有理数﹣8与﹣5对应的两点之间的距离为|﹣8﹣（﹣5）|=3；……

如图1，在数轴上有理数a对应的点为点A，有理数b对应的点为点B，A，B两点之间的距离表示为|a﹣b|或|b﹣a|，记为|AB|=|a﹣b|=|b﹣a|．

解决问题：

(1)数轴上有理数﹣10与﹣5对应的两点之间的距离等于　 　；数轴上有理数x与﹣5对应的两点之间的距离用含x的式子表示为　 　；若数轴上有理数x与﹣1对应的两点A，B之间的距离|AB|=2，则x等于　 　；

联系拓广：

(2)如图2，点M，N，P是数轴上的三点，点M表示的数为4，点N表示的数为﹣2，动点P表示的数为x．

请从A，B两题中任选一题作答，我选择　 　题．

A．①若点P在点M，N两点之间，则|PM|+|PN|=　 　；

②若|PM|=2|PN|，即点P到点M的距离等于点P到点N的距离的2倍，则x等于　 　．

B．①若点P在点M，N之间，则|x+2|+|x﹣4|=　 　；

若|x+2|+|x﹣4|═10，则x=　 　；

②根据阅读材料及上述各题的解答方法，|x+2|+|x|+|x﹣2|+|x﹣4|的最小值等于　 　．

Answer 1

【答案】(1)5； |x+5|；1或﹣3；(2)A．①6；②0或-8；B．①6； 6或﹣4；②8．

【解析】

(1)根据数轴上A、B两点之间的距离|AB|=|a-b|，代入数值运用绝对值可求任意两点间的距离；

(2)A：①点P在M、N两点之间，|PM|+|PN|即是M与N之间的距离；②分点P在M、N之间和点P在N左侧两种情况；

B：①根据数轴上绝对值的几何意义进行解答；②当-2≤x≤4时，原式才有最小值8.

解：(1)根据绝对值的定义：

数轴上有理数﹣10与﹣5对应的两点之间的距离等于5；

数轴上有理数x与﹣5对应的两点之间的距离用含x的式子表示为|x+5|；

A，B之间的距离|AB|=2，则x等于1或﹣3；

(2)A．①若点P在点M，N两点之间，则|PM|+|PN|=6；

②若|PM|=2|PN|，P在MN之间或在N左侧，则x等于0或-8；

B．①若点P在点M，N之间，则|x+2|+|x﹣4|=6；

若|x+2|+|x﹣4|═10，则x=6或﹣4；

②|x+2|+|x|+|x﹣2|+|x﹣4|的最小值，

即：x与4，2，0，﹣2之间距离和最小，这个最小值8．

故答案为：(1)5； |x+5|；1或﹣3；(2)A．①6；②0或-8；B．①6； 6或﹣4；②8．