Question

【题目】如图，AB是⊙O的弦，点C为半径OA的中点，过点C作CD⊥OA交弦AB于点E，连接BD，且DE=DB．

（1）判断BD与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）若CD=15，BE=10，tanA=，求⊙O的直径．

Answer 1

【答案】（1）BD与⊙O相切；（2）．

【解析】

试题分析：（1）连接OB，由圆的半径相等和已知条件证明∠OBD=90°，即可证明BD是⊙O的切线；

（2）过点D作DG⊥BE于G，根据等腰三角形的性质得到EG=BE=5，由两角相等的三角形相似，△ACE∽△DGE，利用相似三角形对应角相等得到sin∠EDG=sinA=，在Rt△EDG中，利用勾股定理求出DG的长，根据三角形相似得到比例式，代入数据即可得到结果．

试题解析：（1）BD与⊙O相切．证明如下：

连接OB，∵OB=OA，DE=DB，∴∠A=∠OBA，∠DEB=∠ABD，又∵CD⊥OA，∴∠A+∠AEC=∠A+∠DEB=90°，∴∠OBA+∠ABD=90°，∴OB⊥BD，∴BD是⊙O的切线；

（2）如图，过点D作DG⊥BE于G，∵DE=DB，∴EG=BE=5，∵∠ACE=∠DGE=90°，∠AEC=∠GED，∴∠GDE=∠A，∴△ACE∽△DGE，∴sin∠EDG=sinA=，即CE=13，在Rt△EDG中，∵DG==12，∵CD=15，DE=13，∴DE=2，∵△ACE∽△DGE，∴，∴AC=DG=，∴⊙O的直径2OA=4AC=．