Question

如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4．如果BC边上存在点P，使△APD为等腰三角形，那么请求出此时BP的长．

Answer 1

考点：作图—复杂作图,等腰三角形的判定,勾股定理

专题：分类讨论

分析：分成AP=BP，AD=AP和DA=DP三种情况进行讨论，利用勾股定理即可求解．

解答：解：当AD是等腰三角形的底边时，P在AD的垂直平分线上，如图（1），

BP=

1

2

BC=

1

2

×4=2；

当AD=AP=BC=4时，如图（2）时，

在直角△ABP中，
BP=

AP2-AB2

=

42-32

=

7

；

当DA=DP时，如图（3），

则PD=AD=BC=3，
在直角△CDP中，CP=

PD2-CD2

=

42-32

=

7

，
则BP=BC-CP=4-

7

．
总之，BP=2或

7

或4-

7

．

点评：本题考查了等腰三角形的性质以及勾股定理，正确进行分类讨论是关键．