Question

如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC且AD=

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BC，∠BAD=90°，E、F分别是BD、CD上的中点，连接AE、EF．
（1）求证：四边形AEFD是平行四边形；
（2）若BD=BC，求证：四边形AEFD是菱形．

Answer 1

考点：菱形的判定,三角形中位线定理,平行四边形的判定,直角梯形

专题：证明题

分析：（1）根据三角形中位线性质得出EF∥BC，EF=

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BC，求出EF∥AD，EF=AD，即可得出答案；
（2）根据（1）的结论求出四边形AEFD是平行四边形，根据直角三角形斜边上中线性质求出AE=

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BD，求出AE=EF，即可得出答案．

解答：证明：（1）∵E、F分别是BD、CD上的中点，
∴EF∥BC，EF=

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BC，
∵AD∥BC且AD=

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BC，
∴EF∥AD，EF=AD，
即EF与AD平行且相等，
∴四边形AEFD是平行四边形；

（2）∵EF∥AD，EF=AD，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∵∠DAB=90°，E为BD中点，
∴AE=

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BD，
∵EF=

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BC，BD=BC，
∴AE=EF，
∴四边形AEFD是菱形．

点评：本题考查了三角形的中位线性质，直角三角形斜边上中线性质，平行四边形的判定，菱形的判定的应用，主要考查学生的推理能力，题目是一道中等题，难度适中．