Question

【题目】如图1，在平面直角坐标系中，△AOB为等腰直角三角形，A（4，4）
（1）求B点坐标；
（2）如图2，若C为x轴正半轴上一动点，以AC为直角边作等腰直角△ACD，∠ACD=90°连OD，求∠AOD的度数；
（3）如图3，过点A作y轴的垂线交y轴于E，F为x轴负半轴上一点，G在EF的延长线上，以EG为直角边作等腰Rt△EGH，过A作x轴垂线交EH于点M，连FM，等式AM=FM+OF是否成立？若成立，请证明：若不成立，说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：如图所示，作AE⊥OB于E，

∵A（4，4），

∴OE=4，

∵△AOB为等腰直角三角形，且AE⊥OB，

∴OE=EB=4，

∴OB=8，

∴B（8，0）

（2）解：方法一：如图所示，作AE⊥OB于E，DF⊥OB于F，

∵△ACD为等腰直角三角形，

∴AC=DC，∠ACD=90°

即∠ACF+∠DCF=90°，

∵∠FDC+∠DCF=90°，

∴∠ACF=∠FDC，

又∵∠DFC=∠AEC=90°，

∴△DFC≌△CEA（AAS），

∴EC=DF，FC=AE，

∵A（4，4），

∴AE=OE=4，

∴FC=OE，即OF+EF=CE+EF，

∴OF=CE，

∴OF=DF，

∴∠DOF=45°，

∵△AOB为等腰直角三角形，

∴∠AOB=45°，

∴∠AOD=∠AOB+∠DOF=90°；

方法二：如图所示，过C作CK⊥x轴交OA的延长线于K，

则△OCK为等腰直角三角形，OC=CK，∠K=45°，

又∵△ACD为等腰Rt△，

∴∠ACK=90°﹣∠OCA=∠DCO，AC=DC，

∴△ACK≌△DCO（SAS），

∴∠DOC=∠K=45°，

∴∠AOD=∠AOB+∠DOC=90°

（3）解：AM=FM+OF成立，理由：

方法一：如图所示，在AM上截取AN=OF，连EN．

∵A（4，4），

∴AE=OE=4，

又∵∠EAN=∠EOF=90°，AN=OF，

∴△EAN≌△EOF（SAS），

∴∠OEF=∠AEN，EF=EN，

又∵△EGH为等腰直角三角形，

∴∠GEH=45°，即∠OEF+∠OEM=45°，

∴∠AEN+∠OEM=45°

又∵∠AEO=90°，

∴∠NEM=45°=∠FEM，

又∵EM=EM，

∴△NEM≌△FEM（SAS），

∴MN=MF，

∴AM﹣MF=AM﹣MN=AN，

∴AM﹣MF=OF，

即AM=FM+OF；

方法二：如图所示，在x轴的负半轴上截取ON=AM，连EN，MN，

则△EAM≌△EON（SAS），

∴EN=EM，∠NEO=∠MEA，

即∠NEF+∠FEO=∠MEA，

而∠MEA+∠MEO=90°，

∴∠NEF+∠FEO+∠MEO=90°，

而∠FEO+∠MEO=45°，

∴∠NEF=45°=∠MEF，

∴△NEF≌△MEF（SAS），

∴NF=MF，

∴AM=OF=OF+NF=OF+MF，

即AM=FM+OF．

【解析】（1）因为△AOB为等腰直角三角形，A（4，4），作AE⊥OB于E，则B点坐标可求；（2）作AE⊥OB于E，DF⊥OB于F，求证△DFC≌△CEA，再根据等量变换，即可求出∠AOD的度数可求；（3）在AM上截取AN=OF，连EN，易证△EAN≌△EOF，再根据角与角之间的关系，证明△NEM≌△FEM，则有AM﹣MF=OF，即可求证等式成立．
【考点精析】通过灵活运用等腰直角三角形，掌握等腰直角三角形是两条直角边相等的直角三角形；等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°即可以解答此题．