精英家教网 > 初中数学 > 题目详情

【题目】设ω是一个平面图形,如果用直尺和圆规经过有限步作图(简称尺规作图),画出一个正方形与ω的面积相等(简称等积),那么这样的等积转化称为ω的“化方”.

(1)阅读填空

如图①,已知矩形ABCD,延长AD到E,使DE=DC,以AE为直径作半圆.延长CD交半圆于点H,以DH为边作正方形DFGH,则正方形DFGH与矩形ABCD等积.

理由:连接AH,EH.

∵AE为直径,∴∠AHE=90°,∴∠HAE+∠HEA=90°.

∵DH⊥AE,∴∠ADH=∠EDH=90°

∴∠HAD+∠AHD=90°

∴∠AHD=∠HED,∴△ADH∽

,即DH2=AD×DE.

又∵DE=DC

∴DH2= ,即正方形DFGH与矩形ABCD等积.

(2)操作实践

平行四边形的“化方”思路是,先把平行四边形转化为等积的矩形,再把矩形转化为等积的正方形.

如图②,请用尺规作图作出与ABCD等积的矩形(不要求写具体作法,保留作图痕迹).

(3)解决问题三角形的“化方”思路是:先把三角形转化为等积的 (填写图形名称),再转化为等积的正方形.

如图③,△ABC的顶点在正方形网格的格点上,请作出与△ABC等积的正方形的一条边(不要求写具体作法,保留作图痕迹,不通过计算△ABC面积作图).

(4)拓展探究

n边形(n>3)的“化方”思路之一是:把n边形转化为等积的n﹣1边形,…,直至转化为等积的三角形,从而可以化方.

如图④,四边形ABCD的顶点在正方形网格的格点上,请作出与四边形ABCD等积的三角形(不要求写具体作法,保留作图痕迹,不通过计算四边形ABCD面积作图).

【答案】(1)HDEAD×DC;(2)作图见试题解析;(3)矩形,作图见试题解析;(4)作图见试题解析

【解析】

试题分析:(1)根据相似三角形的判定方法,得ADH∽△HDE;根据等量代换,可得DH2=AD×DC.

(2)先把平行四边形ABCD转化为等积的矩形ADMN,然后再作正方形DFGH与矩形ABMN等积,所以正方形DFGH与平行四边形ABCD等积.

(3)先以三角形的底为矩形的长,以三角形的高的一半为矩形的宽,将ABC转化为等积的矩形MBCD;然后延长MD到E,使DE=DC,以ME为直径作半圆.延长CD交半圆于点H,则DH即为与ABC等积的正方形的一条边.

(4)先根据AGEH,得到AG=2EH,再由CF=2DF,得到CFEH=DFAG,由此得出SCEF=SADF,SCDI=SAEI,所以SBCE=S四边形ABCD,即BCE与四边形ABCD等积.

试题解析:(1)如图①,连接AH,EH,AE为直径,∴∠AHE=90°,∴∠HAE+HEA=90°DHAE,∴∠ADH=EDH=90°,∴∠HAD+AHD=90°,∴∠AHD=HED,∴△ADH∽△HDE,即DH2=AD×DEDE=DC,DH2=AD×DC即正方形DFGH与矩形ABCD等积

故答案为:HDEAD×DC

(2)如图②,延长AD到E,使DE=DM,连接AH,EH,矩形ADMN的长和宽分别等于平行四边形ABCD的底和高,矩形ADMN的面积等于平行四边形ABCD的面积,AE为直径,∴∠AHE=90°,∴∠HAE+HEA=90°DHAE,∴∠ADH=EDH=90°,∴∠HAD+AHD=90°,∴∠AHD=HED,∴△ADH∽△HDE,即DH2=AD×DEDE=DM,DH2=AD×DM,即正方形DFGH与矩形ABMN等积,正方形DFGH与平行四边形ABCD等积

(3)如图③,延长MD到E,使DE=DC,连接MH,EH,矩形MDBC的长等于ABC的底,矩形MDBC的宽等于ABC的高的一半,矩形MDBC的面积等于ABC的面积,ME为直径,∴∠MHE=90°,∴∠HME+HEM=90°DHME,∴∠MDH=EDH=90°,∴∠HMD+MHD=90°,∴∠MHD=HED,∴△MDH∽△HDE,即DH2=MD×DEDE=DC,DH2=MD×DC,DH即为与ABC等积的正方形的一条边

(4)如图④,延长BA、CD交于点F,作AGCF于点G,EHCF于点H,BCE与四边形ABCD等积,理由如下:AGEH,AG=2EH,又CF=2DFCFEH=DFAG,SCEF=SADFSCDI=SAEISBCE=S四边形ABCD,即BCE与四边形ABCD等积.

练习册系列答案
相关习题

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】已知:如图所示,∠AOB:∠BOC=3:2,OD平分∠BOC,OE平分∠AOC,且∠DOE=36°,求∠BOE的度数.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】如图,△ABC中,∠BAC=100°,DF,EG分别是AB,AC的垂直平分线,则∠DAE等于( )

A.50°
B.45°
C.30°
D.20°

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】数轴上与原点之间的距离小于5的所有整数的相加之和是

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】甲、乙、丙、丁四位选手各10次射击的平均成绩都是9.2环,其中甲的成绩的方差为0.015, 乙的成绩的方差为0.035,的成绩的方差为0.025,的成绩的方差为0.027,由此可知

A)甲的成绩最稳定 (B)乙的成绩最稳定

C)丙的成绩最稳定 (D)丁的成绩最稳定

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】我市某一周的每一天的最高气温统计如下表:

最高气温(℃)

25

26

27

28

天数

1

1

2

3

则这组数据的中位数是 , 众数是

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】已知一元二次方程x24x+20两根为x1x2,则x1x2=(  )

A.4B.4C.2D.2

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】计算:
(1)
(2)﹣
(3) ﹣4
(4) +(1﹣ 0
(5)(2 + )(2
(6) ÷ + ×

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】如图1,在平面直角坐标系中,△AOB为等腰直角三角形,A(4,4)
(1)求B点坐标;
(2)如图2,若C为x轴正半轴上一动点,以AC为直角边作等腰直角△ACD,∠ACD=90°连OD,求∠AOD的度数;
(3)如图3,过点A作y轴的垂线交y轴于E,F为x轴负半轴上一点,G在EF的延长线上,以EG为直角边作等腰Rt△EGH,过A作x轴垂线交EH于点M,连FM,等式AM=FM+OF是否成立?若成立,请证明:若不成立,说明理由.

查看答案和解析>>

同步练习册答案