【题目】设ω是一个平面图形,如果用直尺和圆规经过有限步作图(简称尺规作图),画出一个正方形与ω的面积相等(简称等积),那么这样的等积转化称为ω的“化方”.
(1)阅读填空
如图①,已知矩形ABCD,延长AD到E,使DE=DC,以AE为直径作半圆.延长CD交半圆于点H,以DH为边作正方形DFGH,则正方形DFGH与矩形ABCD等积.
理由:连接AH,EH.
∵AE为直径,∴∠AHE=90°,∴∠HAE+∠HEA=90°.
∵DH⊥AE,∴∠ADH=∠EDH=90°
∴∠HAD+∠AHD=90°
∴∠AHD=∠HED,∴△ADH∽ .
∴,即DH2=AD×DE.
又∵DE=DC
∴DH2= ,即正方形DFGH与矩形ABCD等积.
(2)操作实践
平行四边形的“化方”思路是,先把平行四边形转化为等积的矩形,再把矩形转化为等积的正方形.
如图②,请用尺规作图作出与ABCD等积的矩形(不要求写具体作法,保留作图痕迹).
(3)解决问题三角形的“化方”思路是:先把三角形转化为等积的 (填写图形名称),再转化为等积的正方形.
如图③,△ABC的顶点在正方形网格的格点上,请作出与△ABC等积的正方形的一条边(不要求写具体作法,保留作图痕迹,不通过计算△ABC面积作图).
(4)拓展探究
n边形(n>3)的“化方”思路之一是:把n边形转化为等积的n﹣1边形,…,直至转化为等积的三角形,从而可以化方.
如图④,四边形ABCD的顶点在正方形网格的格点上,请作出与四边形ABCD等积的三角形(不要求写具体作法,保留作图痕迹,不通过计算四边形ABCD面积作图).
【答案】(1)△HDE,AD×DC;(2)作图见试题解析;(3)矩形,作图见试题解析;(4)作图见试题解析.
【解析】
试题分析:(1)根据相似三角形的判定方法,得到△ADH∽△HDE;根据等量代换,可得DH2=AD×DC.
(2)先把平行四边形ABCD转化为等积的矩形ADMN,然后再作正方形DFGH与矩形ABMN等积,所以正方形DFGH与平行四边形ABCD等积.
(3)先以三角形的底为矩形的长,以三角形的高的一半为矩形的宽,将△ABC转化为等积的矩形MBCD;然后延长MD到E,使DE=DC,以ME为直径作半圆.延长CD交半圆于点H,则DH即为与△ABC等积的正方形的一条边.
(4)先根据由AG∥EH,得到AG=2EH,再由CF=2DF,得到CFEH=DFAG,由此得出S△CEF=S△ADF,S△CDI=S△AEI,所以S△BCE=S四边形ABCD,即△BCE与四边形ABCD等积.
试题解析:(1)如图①,连接AH,EH,∵AE为直径,∴∠AHE=90°,∴∠HAE+∠HEA=90°,∵DH⊥AE,∴∠ADH=∠EDH=90°,∴∠HAD+∠AHD=90°,∴∠AHD=∠HED,∴△ADH∽△HDE,∴,即DH2=AD×DE,又∵DE=DC,∴DH2=AD×DC,即正方形DFGH与矩形ABCD等积,
故答案为:△HDE,AD×DC;
(2)如图②,延长AD到E,使DE=DM,连接AH,EH,∵矩形ADMN的长和宽分别等于平行四边形ABCD的底和高,∴矩形ADMN的面积等于平行四边形ABCD的面积,∵AE为直径,∴∠AHE=90°,∴∠HAE+∠HEA=90°,∵DH⊥AE,∴∠ADH=∠EDH=90°,∴∠HAD+∠AHD=90°,∴∠AHD=∠HED,∴△ADH∽△HDE,∴,即DH2=AD×DE,又∵DE=DM,∴DH2=AD×DM,即正方形DFGH与矩形ABMN等积,∴正方形DFGH与平行四边形ABCD等积;
(3)如图③,延长MD到E,使DE=DC,连接MH,EH,∵矩形MDBC的长等于△ABC的底,矩形MDBC的宽等于△ABC的高的一半,∴矩形MDBC的面积等于△ABC的面积,∵ME为直径,∴∠MHE=90°,∴∠HME+∠HEM=90°,∵DH⊥ME,∴∠MDH=∠EDH=90°,∴∠HMD+∠MHD=90°,∴∠MHD=∠HED,∴△MDH∽△HDE,∴,即DH2=MD×DE,又∵DE=DC,∴DH2=MD×DC,∴DH即为与△ABC等积的正方形的一条边;
(4)如图④,延长BA、CD交于点F,作AG⊥CF于点G,EH⊥CF于点H,△BCE与四边形ABCD等积,理由如下:∵AG∥EH,∴,∴AG=2EH,又∵CF=2DF,∴CFEH=DFAG,∴S△CEF=S△ADF,∴S△CDI=S△AEI,∴S△BCE=S四边形ABCD,即△BCE与四边形ABCD等积.
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】甲、乙、丙、丁四位选手各10次射击的平均成绩都是9.2环,其中甲的成绩的方差为0.015, 乙的成绩的方差为0.035,丙的成绩的方差为0.025,丁的成绩的方差为0.027,由此可知
(A)甲的成绩最稳定 (B)乙的成绩最稳定
(C)丙的成绩最稳定 (D)丁的成绩最稳定
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图1,在平面直角坐标系中,△AOB为等腰直角三角形,A(4,4)
(1)求B点坐标;
(2)如图2,若C为x轴正半轴上一动点,以AC为直角边作等腰直角△ACD,∠ACD=90°连OD,求∠AOD的度数;
(3)如图3,过点A作y轴的垂线交y轴于E,F为x轴负半轴上一点,G在EF的延长线上,以EG为直角边作等腰Rt△EGH,过A作x轴垂线交EH于点M,连FM,等式AM=FM+OF是否成立?若成立,请证明:若不成立,说明理由.
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