Question

7．如图，在△ABC中，点D为BC边的中点，以点D为顶点的∠EDF的两边分别与边AB，AC交于点E，F，且∠EDF与∠A互补．
（1）如图1，若AB=AC，且∠A=90°，则线段DE与DF有何数量关系？请直接写出结论；
（2）如图2，若AB=AC，那么（1）中的结论是否还成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
（3）如图3，若AB：AC=m：n，探索线段DE与DF的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）首先根据等腰三角形的性质可得∠DAB=∠DAC=$\frac{1}{2}$∠BAC，AD⊥BC，再证明∠C=∠B=45°，∠ADE=∠FDC，AD=DC可以利用ASA定理证明△AED≌△CFD，进而得到DE=DF；
（2）DE=DF依然成立．如图2，过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，连接AD，则∠EMD=∠FND=90°，由于AB=AC，点D为BC中点，根据三角形的性质三线合一得到AD平分∠BAC，于是得到DM=DN，在四边形AMDN中．，∠DMA=∠DNA=90°，得到∠MAN+∠MDN=180°，又由于∠EDF与∠MAN互补，证得∠MDN=∠EDF，推出△DEM≌△DFN（ASA），即可得到结论；
（3）结论DE：DF=n：m．如图3，过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，连接AD同（2）可证∠1=∠2，通过△DEM∽△DFN，得到$\frac{DE}{DF}=\frac{DM}{DN}$．由于点E为AC的中点，得到S_△ABD=S_△ADC，列等积式即可得到结论．

解答 解：（1）DF=DE，
理由：如图1，连接AD，
∵Rt△ABC是等腰三角形，
∴∠C=∠B=45°，
∴D是斜边BC的中点，
∴∠DAB=∠DAC=$\frac{1}{2}$∠BAC=45°，AD⊥BC，
∴AD=DC，
∵∠EDF=90°，
∴∠ADF+∠ADE=90°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴∠ADF+∠FDC=90°，
∴∠ADE=∠FDC，
在△ADE和△CDF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠EAD=∠C}\\{AD=DC}\\{∠ADE=∠FDC}\end{array}\right.$，
∴△AED≌△CFD（ASA）；
∴DE=DF；

（2）DE=DF依然成立．
如图2，过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，连接AD，
则∠EMD=∠FND=90°，
∵AB=AC，点D为BC中点，
∴AD平分∠BAC，
∴DM=DN，
∵在四边形AMDN中．，∠DMA=∠DNA=90°，
∴∠MAN+∠MDN=180°，
又∵∠EDF与∠MAN互补，
∴∠MDN=∠EDF，
∴∠1=∠2，在△DEM与△DFN中，$\left\{\begin{array}{l}{∠EMD=∠DNF}\\{DM=DN}\\{∠1=∠2}\end{array}\right.$，
∴△DEM≌△DFN（ASA），
∴DE=DF．

（3）结论DE：DF=n：m．
如图3，过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，连接AD，
同（2）可证∠1=∠2，
又∵∠EMD=∠FND=90°，
∴△DEM∽△DFN，
∴$\frac{DE}{DF}=\frac{DM}{DN}$．
∵点D为BC边的中点，
∴S_△ABD=S_△ADC，
∴$\frac{1}{2}•AB•DM=\frac{1}{2}•AC•DN$，
∴$\frac{DM}{DN}=\frac{AC}{AB}$，
又∵$\frac{AB}{AC}=\frac{m}{n}$，
∴$\frac{DM}{DN}=\frac{n}{m}$
∴$\frac{DE}{DF}$=$\frac{n}{m}$．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．