Question

19．四边形ABCD中，∠A=145°，∠D=75°．
（1）如图1，若∠B=∠C，试求出∠C的度数；
（2）如图2，若∠ABC的角平分线BE交DC于点E，且BE∥AD，试求出∠C的度数；
（3）①如图3，若∠ABC和∠BCD的角平分线交于点E，试求出∠BEC的度数．
②在①的条件下，若延长BA、CD交于点F（如图4），将原来条件“∠A=145°，∠D=75°”改为“∠F=40°”，其他条件不变，∠BEC的度数会发生变化吗？若不变，请说明理由；若变化，求出∠BEC的度数．

Answer 1

分析 （1）先根据四边形内角和等于360°求出∠B+∠C的度数，再除以2即可求解；
（2）先根据平行线的性质得到∠ABE的度数，再根据角平分线的定义得到∠ABC的度数，再根据四边形内角和等于360°求出∠BEC的度数；
（3）①先根据四边形内角和等于360°求出∠ABC+∠BCD的度数，再根据角平分线的定义得到∠EBC+∠ECB的度数，再根据三角形内角和等于180°求出∠BEC的度数；
②先根据三角形内角和等于180°求出∠FBC+∠BCF的度数，再根据角平分线的定义得到∠EBC+∠ECB的度数，再根据三角形内角和等于180°求出∠BEC的度数

解答 解：（1）∵四边形ABCD中，∠A=145°，∠D=75°，
∴∠B+∠C=360°-（145°+75°）=140°，
∵∠B=∠C，
∴∠C=70°；
（2）∵BE∥AD，
∴∠ABE=180°-∠A=180°-145°=35°，
∵∠ABC的角平分线BE交DC于点E，
∴∠ABC=70°，
∴∠C=360°-（145°+75°+70°）=70°；                        
（3）①∵四边形ABCD中，∠A=145°，∠D=75°，
∴∠B+∠C=360°-（145°+75°）=140°，
∵∠ABC和∠BCD的角平分线交于点E，
∴∠EBC+∠ECB=70°，
∴∠BEC=180°-70°=110°；                  
②不变．
∵∠F=40°，
∴∠FBC+∠BCF=180°-40°=140°，
∵∵∠ABC和∠BCD的角平分线交于点E，
∴∠EBC+∠ECB=70°，
∴∠BEC=180°-70°=110°．

点评 本题考查了多边形内角与外角，解决的关键是综合运用四边形的内角和以及三角形的内角和、熟练运用平行线的性质和角平分线的定义．