Question

（本小题满分12分）将一张透明的平行四边形胶片沿对角线剪开，得到图①中的两张三角形胶片△ABC和△DEF．将这两张三角形胶片的顶点B与顶点E重合，把△DEF绕点B顺时针方向旋转，这时AC与DF相交于点O．

（1）当△DEF旋转至如图②位置，点B（E），C、D在同一直线上时，∠AFD与∠DCA的数量关系是 ．

（2）当△DEF继续旋转至如图③位置时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．

（3）在图③中，连接BO、AD，探索BO与AD之间有怎样的位置关系，并证明．

 

Answer 1

（1）∠AFD=∠DCA；（2）成立，理由见试题解析；（3）BO⊥AD，理由见试题解析．

【解析】

试题分析：（1）要证∠AFD=∠DCA，只需证△ABC≌△DEF即可；

（2）结论成立，先证△ABC≌△DEF，再证△ABF≌△DEC，得∠BAF=∠EDC，推出∠AFD=∠DCA；

（3）BO⊥AD，由△ABC≌△DEF得BA=BD，点B在AD的垂直平分线上，且∠BAD=∠BDA，继而证得∠OAD=∠ODA，OA=OD，点O在AD的垂直平分线上，即BO⊥AD．

试题解析：（1）∠AFD=∠DCA．

∵AB=DE，BC=EF，∠ABC=∠DEF，∴△ABC≌△DEF，∴∠ACB=∠DFE，∴∠AFD=∠DCA；

（2）∠AFD=∠DCA（或成立），理由如下：由△ABC≌△DEF，得：AB=DE，BC=EF（或BF=EC），∠ABC=∠DEF，∠BAC=∠EDF，∴∠ABC﹣∠FBC=∠DEF﹣∠CBF，∴∠ABF=∠DEC，

在△ABF和△DEC中，∵AB=DE，∠ABF=∠DEC，BF=EC，∴△ABF≌△DEC，∠BAF=∠EDC，

∴∠BAC﹣∠BAF=∠EDF﹣∠EDC，∠FAC=∠CDF，

∵∠AOD=∠FAC+∠AFD=∠CDF+∠DCA，∴∠AFD=∠DCA；

（3）如图，BO⊥AD．

由△ABC≌△DEF，点B与点E重合，得∠BAC=∠BDF，BA=BD，∴点B在AD的垂直平分线上，且∠BAD=∠BDA，∵∠OAD=∠BAD﹣∠BAC，∠ODA=∠BDA﹣∠BDF，∴∠OAD=∠ODA，∴OA=OD，点O在AD的垂直平分线上，∴直线BO是AD的垂直平分线，即BO⊥AD．

考点：1．全等三角形的判定；2．平行四边形的性质．