Question

如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，四边形ABDE是平行四边形，AC，DE相交于点O．
（1）求证：四边形ADCE是矩形；
（2）若∠AOE=120°，AE=4，求矩形ADCE对角线的长．

Answer 1

考点：矩形的判定与性质,全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）由四边形ABDE是平行四边形，D为BC中点，易证得AE=CD，AE∥CD，即可判定四边形ADCE是平行四边形，又由在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，根据三线合一的性质，可得AD⊥BC，继而证得结论；
（2）由∠AOE=120°，可求得∠AED=30°，又由AE=4，即可求得矩形ADCE对角线的长．

解答：（1）证明：∵四边形ABDE是平行四边形，
∴AE∥BD，AE=BD，
∵在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，
∴AD⊥BC，CD=BD，
∴∠ADC=90°，CD=AE，CD∥AE，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∴四边形ADCE是矩形；

（2）解：∵四边形ADCE是矩形，
∴OA=OC=OD=OE，
∵∠AOE=120°，
∴∠AED=30°，
∵AE=4，
∴DE=

AE

cos∠AED

=

4

3 2

=

8 3

3

．
∴矩形ADCE对角线的长为：

8 3

3

．

点评：此题考查了矩形的判定与性质以及等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．