Question

如图，AD是⊙O的直径，AB、AF是弦，BE⊥AD与AF的延长线交于点C．
（1）猜想线段AB、AF、AC之间的等量关系，并证明；
（2）若AE•DE=9，求BE的长．

Answer 1

考点：圆周角定理,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）先根据BE⊥AD得出

AB

=

AG

，∠ABG=∠AFB，由此可得出△ABF∽△ACB，由相似三角形的对应边成比例即可得出结论；
（2）根据垂径定理即可得出BE=EG，再由相交弦定理即可得出结论．

解答：（1）AB²=AC•AF．
证明：∵BE⊥AD，
∴

AB

=

AG

，
∴∠ABG=∠AFB．
∵∠BAF是公共角，
∴△ABF∽△ACB，
∴

AB

AC

=

AF

AB

，即AB²=AC•AF；

（2）解：∵AD是⊙O的直径，BE⊥AD，
∴BE=GE．
∵BE•EG=AE•DE=9，
∴BE²=AE•DE=9，解得BE=3．

点评：本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．