Question

阅读材料：一些含根号的式子可以写成另一个含根号的式子的平方，如3+2

2

=（1+

2

）²，其思考过程如下：
设a+

2

b=（m+

2

n）²，（其中a、b、m、n均为正整数）则有
a+

2

b=m²+2

2

mn+2n² ∴a+m²+2n²，b=2mn
请你解决问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+

3

b=（m+

3

n）²，用含m、n的式子分别表示a、b得，a=

 

，b=

 

．
（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空

 

+

 

3

=（

 

+

 

3

）²．
（3）若a+6

5

=（m+

5

n）²且a、b、m、n均为正整数，求a的值．

Answer 1

考点：二次根式的混合运算

专题：阅读型

分析：（1）利用完全平方公式得到（m+

3

n）²=m²+2

3

mn+3n² ，则a=m²+3n²，b=2mn；
（2）可设m=1，n=2，则（1+2

3

）²=13+2

3

；
（3）由于a+6

5

=（m+

5

n）²=m²+2

5

mn+5n²，则6=2mn，即mn=3，所以m=3，n=1或m=1，n=3，然后分别计算对应的a的值．

解答：解：（1）∵a+

3

b=（m+

3

n）²=m²+2

3

mn+3n² ，
∴a=m²+3n²，b=2mn；
故答案为m²+3n²，2mn；
（2）13+2

3

=（1+2

3

）²，
故答案为13，4，1，2；
（3）∵a+6

5

=（m+

5

n）²=m²+2

5

mn+5n²，
∴6=2mn，即mn=3，
而m、n为正整数，
∴m=3，n=1或m=1，n=3，
当m=3，n=1时，a=m²+5n²=14，
当m=1，n=3时，a=m²+5n²=46．

点评：本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了完全平方公式．