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【题目】如图,在⊙O中,直径CD垂直于不过圆心O的弦AB,垂足为点N,连接ACBC,点EAB上,且AECE

1)求证:∠ABC=∠ACE

2)过点B作⊙O的切线交EC的延长线于点P,证明PBPE

3)在第(2)问的基础上,设⊙O半径为2,若点NOC中点,点Q在⊙O上,求线段PQ的最大值.

【答案】(1)详见解析;(2)详见解析;(3)

【解析】

1)因为直径CD垂直于不过圆心O的弦AB,垂足为点N,所以,所以∠CAE=∠ABC,因为AECE,所以∠CAE=∠ACE,所以∠ABC=∠ACE

2)连接OB,设∠CAE=∠ACE=∠ABCx,通过计算可得∠PEB=∠PBE2x,所以PBPE

3)连接OP,证明△OBC和△PBE为等边三角形,因为O半径为2,可得BN3NE1,即PBBE4,在RtPBO中求得PO的长,即可得出PQ的最大值.

解:(1)证明:直径CD垂直于不过圆心O的弦AB,垂足为点N

∴∠CAEABC

AECE

∴∠CAEACE

∴∠ABCACE

2)如图,连接OB

过点BO的切线交EC的延长线于点P

∴∠OBP90°

CAEACEABCx

PEB2x

OBOCABCD

∴∠OBCOCB90°x

∴∠BOC180°290°x)=2x

∴∠OBE90°2x

∴∠PBE90°﹣(90°2x)=2x

∴∠PEBPBE

PBPE

3)如图,连接OP

NOC中点,ABCD

ABCD的垂直平分线,

BCOBOC

∴△OBC为等边三角形,

∵⊙O半径为

CN

∵∠CAEACEBOC30°

∴∠CEN60°PBE2∠CAB60°

∴△PBE为等边三角形,BN3NE1

PBBEBN+NE3+14

PO=

PQ的最大值为PO++

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