Question

20．已知平行四边形ABCD，AE与BC延长线相交于E、与CD相交于F，
（1）求证：△AFD∽△EAB．
（2）若DF：FC=1：2，求△AFD与△EAB的面积之比．

Answer 1

分析 （1）由四边形ABCD是平行四边形，得到AD∥BE，AB∥CD，根据平行线的性质得到∠DAE=∠AEB，∠DCE=∠B，即可得到结论；
（2）由已知条件得到$\frac{DF}{CD}$=$\frac{1}{3}$，由四边形ABCD是平行四边形，得到CD=AB，求得$\frac{DF}{AB}=\frac{1}{3}$，根据相似三角形的性质即可得到结论．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BE，AB∥CD，
∴∠DAE=∠AEB，∠DCE=∠B，
∴△AFD∽△EAB；

（2）解：∵DF：FC=1：2，
∴$\frac{DF}{CD}$=$\frac{1}{3}$，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB，
∴$\frac{DF}{AB}=\frac{1}{3}$，
∵△AFD∽△EAB，
∴△AFD与△EAB的面积之比=（$\frac{DF}{AB}$）²=1：9．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．