Question

9．如图，过△ABC的顶点A分别作∠ACB及其外角的平分线的垂线，垂直分布为E、F，连接EF交AB于点M，交AC于点N，求证：
（1）四边形AECF是矩形；
（2）MN=$\frac{1}{2}$BC．

Answer 1

分析 （1）由角平分线的定义和邻补角定义得出∠ECF=90°，由AE⊥CE，AF⊥CF，得出∠AEC=∠AFC=90°，即可得出四边形AECF是矩形；
（2）由矩形的性质得出EN=FN，AN=CN=$\frac{1}{2}$AC，由直角三角形斜边上的中线性质得出CN=$\frac{1}{2}$EF=EN，由等腰三角形的性质得出∠NEC=∠ACE=∠BCE，证出EN∥BC，得出△AMN∽△ABC，由相似三角形的对应边成比例即可得出结论．

解答 证明：（1）∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠ACE=∠BCE=$\frac{1}{2}$∠ACB，∠ACF=$\frac{1}{2}$∠ACD，
∵∠ACB+∠ACD=180°，
∴∠ACE+∠ACF=90°，
即∠ECF=90°，
又∵AE⊥CE，AF⊥CF，
∴∠AEC=∠AFC=90°，
∴四边形AECF是矩形；
（2）∵四边形AECF是矩形，
∴EN=FN，AN=CN=$\frac{1}{2}$AC，
∴CN=$\frac{1}{2}$EF=EN，
∴∠NEC=∠ACE=∠BCE，
∴EN∥BC，
∴△AMN∽△ABC，
∴$\frac{MN}{BC}$=$\frac{AN}{AC}$=$\frac{1}{2}$，
∴MN=$\frac{1}{2}$BC．

点评 本题考查了矩形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的性质、平行线的判定、相似三角形的判定与性质；本题综合性强，有一定难度，证明三角形相似是解决问题（2）的关键．