【题目】如图1,P为正方形ABCD的边BC上一动点(P与B、C不重合),连接AP,过点B作BQ⊥AP交CD于点Q,将△BQC沿BQ所在的直线对折得到△BQC',延长QC′交BA的延长线于点M.
(1)试探究AP与BQ的数量关系,并证明你的结论;
(2)求证:MQ=MB;
(3)若AB=3,BP=2PC,求QM的长.
【答案】(1)AP=BQ,证明详见解析;(2)详见解析;(3)QM的长为.
【解析】
(1)要证AP=BQ,只需证△PBA≌△QCB即可.
(2)易得DC∥AB,从而有∠CQB=∠QBA.由折叠可得∠C′QB=∠CQB,即可得到∠QBA=∠C′QB,即可得到MQ=MB.
(3)过点Q作QH⊥AB于H,如图.易得QH=BC=AB=3,BP=2,PC=1,然后运用勾股定理可求得AP(即BQ)=,BH=2.设QM=x,则有MB=x,MH=x﹣2.在Rt△MHQ中运用勾股定理就可解决问题.
(1)解:结论:AP=BQ.
理由:∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC,∠ABC=∠C=90,
∴∠ABQ+∠CBQ=90.
∵BQ⊥AP,
∴∠PAB+∠QBA=90,
∴∠PAB=∠CBQ.
在△PBA和△QCB中,
,
∴△PBA≌△QCB,
∴AP=BQ.
(2)证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴DC∥AB,
∴∠CQB=∠QBA.
由折叠可得∠C′QB=∠CQB,
∴∠QBA=∠C′QB,
∴MQ=MB.
(3)解:过点Q作QH⊥AB于H,如图.
∵四边形ABCD是正方形,
∴QH=BC=AB=3.
∵BP=2PC,
∴BP=2,PC=1,
∴BQ=AP==
=
,
∴BH==
=2.
∵四边形ABCD是正方形,
∴DC∥AB,
∴∠CQB=∠QBA,
由折叠可得∠C′QB=∠CQB,
∴∠QBA=∠C′QB,
∴MQ=MB.
设QM=x,则有MB=x,MH=x﹣2.
在Rt△MHQ中,
根据勾股定理可得x2=(x﹣2)2+32,
解得x=.
∴QM的长为.
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,矩形A1B1C1D1的面积为4,顺次连结各边中点得到四边形A2B2C2D2,再顺次连结四边形A2B2C2D2四边中点得到四边形A3B3C3D3,依此类推,则四边形AnBnCnDn的面积是 .
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,甲、乙两人以相同路线前往距离单位10km的培训中心参加学习,图中1, 分别表示甲、乙两人前往目的地所走的路程S(千米)随时间(分)变化的函数图象,以下说法:①甲比乙提前12分钟到达;②甲的平均速度为15千米/小时;③甲、乙相遇时,乙走了6千米;④乙出发6分钟后追上甲,其中正确的是( )
A.①②B.③④C.①③④D.②③④
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】我国很多城市水资源缺乏,为了加强居民的节水意识,某市制定了每月用水4吨以内(包括4吨)和用水4吨以上收费标准(收费标准:每吨水的价格)某用户每月应交水费y(元)与用水量x(吨)之间关系的图象如图:
(1)说出自来水公司在这两个用水范围内的收费标准;
(2)当x>4时,求因变量y与自变量x之间的关系式;
(3)若某用户该月交水费26元,求他用了多少吨水?
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在△ABC中,D是BC边的中点,分别过B、C做射线AD的垂线,垂足分别为E、F,连接BF、CE.
(1)求证:四边形BECF是平行四边形;
(2)我们知道S△ABD=S△ACD,若AF=FD,在不添加辅助线的条件下,直接写出与△ABD、△ACD面积相等的所有三角形.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,△ABC三个顶点的坐标分别为A(2,4),B(1,1),C(4,3).
(1)请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1,并写出点A1的坐标;
(2)请画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后的△A2BC2;
(3)求出(2)中C点旋转到C2点所经过的路径长(结果保留根号和π);
(4)求出(2)△A2BC2的面积是多少.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图1,矩形的一条边长为x,周长的一半为y,定义(x,y)为这个矩形的坐标。如图2,在平面直角坐标系中,直线x=1,y=3将第一象限划分成4个区域,已知矩形1的坐标的对应点A落在如图所示的双曲线上,矩形2的坐标的对应点落在区域④中,则下面叙述中正确的是( )
A. 点A的横坐标有可能大于3
B. 矩形1是正方形时,点A位于区域②
C. 当点A沿双曲线向上移动时,矩形1的面积减小
D. 当点A位于区域①时,矩形1可能和矩形2全等
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在平面直角坐标系中,Rt△ABC的三个顶点分别是A(-3,2)、B(0,4)、C(0,2),
(1)画出△ABC关于点C成中心对称的△A1B1C;
(2)平移△ABC:若点A的对应点A2的坐标为(0,-4),画出平移后对应的△A2B2C2;
(3)△A1B1C和△A2B2C2关于某一点成中心对称,则对称中心的坐标为 .
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,已知长方形纸片ABCD中,AB=10,AD=8,点E在AD边上,将△ABE沿BE折叠后,点A正好落在CD边上的点F处.
(1)求DF的长;
(2)求△BEF的面积.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com