Question

如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC上一点，点F在射线CM上,∠AEF=90°，AE=EF，过点F作射线BC的垂线，垂足为H，连接AC.

(1) 试判断BE与FH的数量关系，并说明理由；

(2) 求证：∠ACF=90°；

(3) 连接AF，过A，E，F三点作圆，如图2. 若EC=4，∠CEF=15°，求的长.

图1                          图2

Answer 1

（1）BE=FH ；理由见解析

（2）证明见解析

（3）=2π

【解析】（1）BE=FH。理由如下：

∵四边形ABCD是正方形  ∴∠B=90°，∵FH⊥BC ， ∴∠FHE=90°，又∵∠AEF=90°，∴∠AEB+∠HEF=90°， 且∠BAE+∠AEB=90°，∴∠HEF=∠BAE ，∴ ∠AEB=∠EFH ，又∵AE=EF，∴△ABE≌△EHF（SAS），∴BE=FH；

(2)∵△ABE≌△EHF，∴BC=EH，BE=FH ， 又∵BE+EC=EC+CH，∴BE=CH，∴CH=FH，∴∠FCH=45°，∴∠FCM=45°，∵AC是正方形对角线，∴ ∠ACD=45°，∴∠ACF=∠FCM +∠ACD =90°；

（3）∵AE=EF，∴△AEF是等腰直角三角形，△AEF外接圆的圆心在斜边AF的中点上。设该中点为O。连结EO得∠AOE=90°

过E作EN⊥AC于点N，Rt△ENC中，EC=4，∠ECA=45°，∴EN=NC=，Rt△ENA中，EN =，又∵∠EAF=45°，∠CAF=∠CEF=15°（等弧对等角），∴∠EAC=30°，∴AE=，Rt△AFE中，AE== EF，∴AF=8， AE所在的圆O半径为4，其所对的圆心角为∠AOE=90°，=2π·4·（90°÷360°）=2π.