Question

4．已知⊙O和⊙O上的一点A，茗茗向以点A为顶点，在⊙O中作内接正多边形，以下是她的作法：①连接AO并延长交⊙O于点B；②以点A为圆心，AO长为半径画弧，交⊙O于点C，D，③以点B为圆心，BO长为半径画弧，交⊙O于点E，F；④顺次连接⊙O上的各点，连接所得的多边形即为茗茗所要作的正多边形，则此正多边形为正六边形．

Answer 1

分析 连接OC、OD、OE、OF，由作图得出AC=AD=AO=BO=BE=BF=OC=OD=OE=OF，得出△OAC是等边三角形，因此∠OAC=∠AOC=60°，同理：∠OAD=60°，∠BOE=60°，证出：∠CAD=∠ADF=∠DFB=∠FBE=∠BEC=∠ACE=120°，AD=CE=BE=BF=DF=AD，即可得出六边形ACEBFD为正六边形．

解答 解：如图所示：
六边形ACEBFD为正六边形；理由如下：
连接OC、OD、OE、OF，
根据题意得：AC=AD=AO=BO=BE=BF=OC=OD=OE=OF，
∴△OAC是等边三角形，
∴∠OAC=∠AOC=60°，
同理：∠OAD=60°，∠BOE=60°，
∴△COE是等边三角形CE=OC=AC，∠CAD=120°，
同理：∠ADF=∠DFB=∠FBE=∠BEC=∠ACE=120°，
又∵AD=CE=BE=BF=DF=AD，
∴六边形ACEBFD为正六边形；
故答案为：正六边形．

点评 本题考查了正六边形的判定、作图、等边三角形的判定与性质；熟练掌握等边三角形的判定与性质，证出多边形的各角相等、各边相等是解决问题的关键．