Question

9．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的一边在x轴上，反比例函数y-$\frac{k}{x}$（k≠0）的图象经过菱形两对交线的交点，且与AB所在直线交于点D，已知AC•OB=64$\sqrt{2}$，OC=8，则以下结论：①k=-16$\sqrt{2}$；②点D的纵坐标为4$\sqrt{2}$；③∠OBC=22.5°；④反比例函数y=-$\frac{k}{x}$随x的增大而增大；⑤tan∠AOC=1，其中正确的是（　　）

• A． ①③⑤
• B． ②③⑤
• C． ②③④⑤
• D． ①②③④⑤

Answer 1

分析 延长BA交y轴于点H，过点E作EF⊥OC于点F．①运用菱形的面积公式可求出△ECO的面积，根据△EFO的面积小于△ECO的面积可解决问题；②要求点D的纵坐标，只需根据菱形的面积公式（底乘以高）求出OH即可；③只需解直角三角形OHA，就可求出∠AOH，即可得到∠AOC，再根据菱形的性质，就可求出∠OBC；④只需根据k的符号，就可确定反比例函数y=-$\frac{k}{x}$的增减性；⑤根据∠AOC的度数即可得到tan∠AOC的值．

解答 解：延长BA交y轴于点H，过点E作EF⊥OC于点F，如图．
①∵四边形OABC是菱形，
∴S_菱形OABC=$\frac{1}{2}$AC•OB=$\frac{1}{2}$×64$\sqrt{2}$=32$\sqrt{2}$，
∴S_△ECO=$\frac{1}{4}$S_菱形OABC=8$\sqrt{2}$，
∴S_△EFO=$\frac{1}{2}$OF•EF=$\frac{1}{2}$（-k）＜8$\sqrt{2}$，
∴k＞-16$\sqrt{2}$．故①错误；
②∵S_菱形OABC=OC•OH=8OH=32$\sqrt{2}$，
∴OH=4$\sqrt{2}$，故②正确；
③在Rt△OHA中，
∵OA=OC=8，OH=4$\sqrt{2}$，
∴AH=4$\sqrt{2}$=OH，
∴tan∠AOH=1，
∴∠AOH=45°，
∴∠AOC=45°．
∵四边形OABC是菱形，
∴∠ABO=∠CBO=$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}$∠AOC=22.5°，故③正确；
④由图可知k＜0即-k＞0，反比例函数y=-$\frac{k}{x}$在一、三象限，
所以在每个象限y随x的增大而减小，故④错误；
⑤tan∠AOC=tan45°=1，故⑤正确．
故选B．

点评 本题主要考查了反比例函数的性质、反比例函数图象上点的坐标特征、菱形的性质、勾股定理、特殊角的三角函数值等知识，运用菱形的面积公式（菱形的面积等于底乘以高，也等于对角线乘积的一半）是解决本题的关键．