【题目】阅读下列材料:
某同学遇到这样一个问题:在平面直角坐标系中,已知直线
点
在抛物线
上,求点
到直线
的距离
.
如图1,他过点作
于点
轴分别交
轴于点
交直线
于点
.他发现
,可求出
的长,再利用
求出
的长,即为点
到直线
的距离
.
请回答:
(1)图1中, ,点
到直线
的距离
.
参考该同学思考问题的方法,解决下列问题:
在平面直角坐标系中,点
是抛物线
上的一动点,设点
到直线
的距离为
.
(2)如图2,
①,则点
的坐标为 ;
②,在点
运动的过程中,求
的最小值;
(3)如图3,,在点
运动的过程中,
的最小值是 .
【答案】(1)3,;(2)①(0,5)或(3,2);②
;(3)
【解析】
(1)由题意得:d=AB=AD=
,即可求解;(2)如设点M的坐标为(m,m2-4m+5),则点N坐标为(m,-m),则由(1)知:d=MH=
MN,即可求解;(3)如下图,点M的坐标为(m,m2-4m+5),则点N坐标为(m,2m-7),由题意得:tanα=2,则d=MH=MNcosα即可求解.
(1)∵点A(1,t)在抛物线y=x2-4x+5上,
∴t=1-4+5=2,
∴点A的坐标为(1,2).
∵AD∥y轴交直线l于点D,直线l:y=-x,
∴点D的坐标为(1,-1),
∴AD=2-(-1)=3.
∵△ABD为等腰直角三角形,∠ABD=90°,
∴d=AB=AD=
.
(2)如图,过点M作y轴的平行线交直线l于点N,过点M作MH⊥l,交l于点H,设点M的坐标为(m,m2-4m+5),则点N坐标为(m,-m),则MN=m2-3m+5,
,
∵,
∴,
解得:M坐标为(0,5)或(3,2);
②,
则d的最小值;
(3)如图,过点M作y轴的平行线交x轴于点G,交直线l于点N,过点M作MH⊥l,交l于点H,
设点M的坐标为(m,m2-4m+5),则点N坐标为(m,2m-7),
由题意得:tanα=2,则,
则d=MH=MN(m2-4m+5-2m+7)=
[(m-3)2+3],
故d的最小值为.
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【题目】已知抛物线y=(x-m)2-(x-m),其中m是常数.
(1)求证:不论m为何值,该抛物线与x轴一定有两个公共点.
(2)若该抛物线的对称轴为直线,求该抛物线的函数表达式.
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【题目】数学课上,老师提出了这样一个问题:如图,己知.求作:过
三点的圆.
小芸是这样思考的:圆心确定一个圈的位置,半径确定一个圆的大小要作同时经过几个定点的圆,就是要先找到一个点,使得这个点到这几个定点的距离都相等.这样既定了圆心,又定了半径,就能画出满足条件的圆了.
小智听了小芸的分析后,按照这个思路很快就画出了一个过三点的圆.
请你在答题纸上而出这个圆,并写出作图的主要依据,
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【题目】如图,某养殖场在养殖面积扩建中,准备将总长为米的篱笆围成 矩形
形状的鸡舍,其中
一边利用现有的一段足够长的围墙,其余三边 用篱笆,且在与墙平行的一边
上开一个
米宽的门
.设
边长为
米, 鸡舍面积为
平方米.
求出
与
的函数关系式;(不需写自变量的取值范围).
当鸡舍的面积为
平方米时,求出鸡舍的一边
的长.
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【题目】如图1,为等腰三角形,
是底边
的中点,腰
与
相切于点
,底
交
于点
,
.
(1)求证:是
的切线;
(2)如图2,连接,
交
于点
,点
是弧
的中点,若
,
,求
的半径.
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