Question

【题目】在正方形ABCD和正方形DEFG中，顶点B、D、F在同一直线上，H是BF的中点．

（1）如图1，若AB=1，DG=2，求BH的长；

（2）如图2，连接AH，GH．

小宇观察图2，提出猜想：AH=GH，AH⊥GH．小宇把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：

想法1：延长AH交EF于点M，连接AG，GM，要证明结论成立只需证△GAM是等腰直角三角形；

想法2：连接AC，GE分别交BF于点M，N，要证明结论成立只需证△AMH≌△HNG．…

请你参考上面的想法，帮助小宇证明AH=GH，AH⊥GH．（一种方法即可）

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】

（1）先根据勾股定理得出BD，DF，进而求出BF，即可得出结论；

（2）想法1、先判断△ABH≌△MFH，进而判断出△ADG≌△MFG．即可判断出△AGM为等腰直角三角形，即可得出结论；

想法2、先判断出MN=BF．进而判断出△AMH≌△HNG，即可判断出∠AHM+∠GHN=90°．即可得出结论．

（1）∵正方形中ABCD和正方形DEFG，∴△ABD，△GDF为等腰直角三角形．

∵AB=1，DG=2，∴由勾股定理得BD=，DF=2．

∵B、D、F共线，∴BF=3．

∵H是BF的中点，∴BH=BF=．

（2）想法1：

如图1，延长AH交EF于点M，连接AG，GM．

∵正方形中ABCD和正方形DEFG且B、D、F共线，∴AB∥EF，∴∠ABH=∠MFH．

又∵BH=FH，∠AHB=∠MHF，∴△ABH≌△MFH，∴AH=MH，AB=MF．

∵AB=AD，∴AD=MF．

∵DG=FG，∠ADG=∠MFG=90°，∴△ADG≌△MFG，∴∠AGD=∠MGF，AG=MG．

又∵∠DGM+∠MGF=90°，∴∠AGD+∠DGM=∠AGM=90°，∴△AGM为等腰直角三角形．

∵AH=MH，∴AH=GH，AH⊥GH．

想法2：

如图2，连接AC，GE分别交BF于点M，N．

∵正方形中ABCD和正方形DEFG且B、D、F共线，∴AC⊥BF，GE⊥BF，DM=AM=BD，DN=GN=DF，∴∠AMD=∠GNH=90°，MN=BF．

∵H是BF的中点，∴BH=BF，∴BH=MN，∴BH﹣MH=MN﹣MH，∴BM=HN．

∵AM=BM=DM，∴AM=HN=DM，∴MD+DH=NH+DH，∴MH=DN．

∵DN=GN，∴MH=GN．

在△AMH和△HNG中，∵AM=HN，∠AMD=∠HNG，MH=NG，∴△AMH≌△HNG，∴AH=GH，∠AHM=∠HGN．

∵∠HGN+∠GHN=90°，∴∠AHM+∠GHN=90°，∴∠AHG=90°，∴AH⊥GH，∴AH=GH，AH⊥GH．