Question

【题目】如图，为的切线，为切点，是过点的割线，于点，若，，求的面积．

Answer 1

【答案】的面积为.

【解析】

连接AC，由弦切角定理知∠PCA=∠B，易证得△PCA∽△PBC，得PC：PB=AC：AB，而AC：AB正好是tanB，由此可求出PB的长，进而可由切割线定理求出PA的长，也就得到了AB的长；在Rt△ACB中，易证得∠ACD=∠B，那么tanB=tan∠ACD，由此可得CD=2AD，BD=2CD，即BD=4AD，联立AD+BD=AB（AB的长已求得），即可得到AD、BD、CD的长，进而可由三角形的面积公式求出△BCD的面积．

解法一：连接，

∵是的直径，点在上，

∴

∵于点，

∴，

．

∵，

∴，

∴．

设，则，，．

∵切于点，点在上，

∴，

∵，

∴．

∴．

∵，

∴，

∵切于点，是的割线，

∴根据切割线定理：，

∴，

解得，

∴，，．

∴，

即的面积为，

解法二：同解法一，由得，

∵，

∴，

由切割线定理，得，

∴，

∴，

∵，

解得；（同证法一）

∴，，

．

即的面积为．