Question

【题目】如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于点A(﹣1，0)、B(5，0)，与y轴相交于点C(0，)．

（1）求该函数的表达式；

（2）设E为对称轴上一点，连接AE、CE；

①当AE+CE取得最小值时，点E的坐标为　 　；

②点P从点A出发，先以1个单位长度/的速度沿线段AE到达点E，再以2个单位长度的速度沿对称轴到达顶点D．当点P到达顶点D所用时间最短时，求出点E的坐标．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①(2，)；②点E(2，)．

【解析】

（1）抛物线的表达式为：y＝a(x+1)(x﹣5)＝a(x2﹣4x﹣5)，故﹣5a＝，解得：a＝﹣，即可求解；

（2）①点A关于函数对称轴的对称点为点B，连接CB交函数对称轴于点E，则点E为所求，即可求解；

②t＝AE+DE，t＝AE+DE＝AE+EH，当A、E、H共线时，t最小，即可求解．

（1）抛物线的表达式为：y＝a(x+1)(x﹣5)＝a(x2﹣4x﹣5)，

故﹣5a＝，解得：a＝﹣，

故抛物线的表达式为：；

（2）①函数的对称轴为：x＝2，

点A关于函数对称轴的对称点为点B，连接CB交函数对称轴于点E，则点E为所求，

由点B、C的坐标得，BC的表达式为：y＝﹣x+，

当x＝2时，y＝，

故答案为：(2，)；

②t＝AE+DE，

过点D作直线DH，使∠EDH＝30°，作HE⊥DH于点H，则HE＝DE，

t＝AE+DE＝AE+EH，当A、E、H共线时，t最小，

则直线A(E)H的倾斜角为：30°，

直线AH的表达式为：y＝ (x+1)

当x＝2时，y＝，

故点E(2，)．