Question

【题目】如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥BC交AC于点E，已知AD=AB，连接BE交AD于点F，下列结论：①BE=CE；②∠CAD=∠ABE；③S△ABF=3S△DEF；④△DEF∽△DAE，其中正确的有（　 　）

A. 1个 B. 4个 C. 3个 D. 2个

Answer 1

【答案】C

【解析】∵D是BC的中点，且DE⊥BC，

∴DE是BC的垂直平分线，CD=BD，

∴CE=BE，故本答案正确；

∴∠C=∠7

∵AD=AB，

∴∠8=∠ABC=∠6+∠7，

∵∠8=∠C+∠4，

∴∠C+∠4=∠6+∠7，

∴∠4=∠6，即∠CAD=∠ABE，故本答案正确；

作AG⊥BD于点G，交BE于点H，

∵AD=AB，DE⊥BC，

∴∠2=∠3，DG=BG=BD，DE∥AG，

∴CDE△∽△CGA，△BGH∽△BDE，EH=BH，∠EDA=∠3，∠5=∠1，

∴CD：CG=DE：AG，HG=DE，

设DG=x，DE=y，则GB=x，CD=2x，CG=3x

∴2x：3x=2y：AG，

解得：AG=3y，HG=y

∴AH=2y

∴DE=AH，且∠EDA=∠3，∠5=∠1

∴DEF△≌△AHF

∴EF=HF=EH，且EH=BH，

∴EF：BF=1：3，

∴S△ABF=3S△AEF，

∵S△DEF=S△AEF，

∴S△ABF=3S△DEF，故本答案正确；

∵∠1=∠2+∠6，且∠4=∠6，∠2=∠3，

∴∠5=∠3+∠4，

∴∠5≠∠4，

∴△DEF∽△DAE，不成立，故本答案错误，

综上所述：正确的答案有3个，

故选C．